Question

数学题 题目已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为 14的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|2．
解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切可得 |5k|k2+1= 5，
所以k=± 12，即双曲线G的渐近线的方程为y=± 12x．（3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y= 14（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB= 83，xAxB=- 16+4m3．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为 x228- y27=1．（8分）
我不懂的是 为什么由∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上就可得到
（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）^2 这是怎么得来的 是跟向量有关吗 请详细说明 谢谢 很多知识都已遗忘了

Answer 1

看了答案，真是一团雾水，最后总算才明白，是数据遗漏了，首先k应是1/2，斜率是1/4，
圆方程 x^2-10x+25+y^2=5,
(x-5)^2+y^2=5,
圆心（5，0），半径√5，
设一条渐近线方程为y=kx,
kx-y=0,
圆心（5，0）至渐近线距离（圆半径）R=|5k-0|/√（k^2+1)=√5，
25k^2=5k^2+5,
4k^2=1,
k=±1/2，
∴渐近线方程为：y=±x/2,
直线方程为：y=(x+4)/4,y=x/4+1,故C点坐标（0，1）。
首先解释一下你提出的问题。
|PA|•|PB|=|PC|^2,
已知条件P、A、C、B四点共线，
在等式两边同乘（cosθ)^2,
θ是指直线和X轴的夹角，
|PAcosθ|•|PBcosθ|=|PCcosθ|^2,
|PAcosθ|=|xP-xA|,
|PBcosθ|=|xB-xP|,
|PCcosθ|=|xP-xC|,
3x^2-8x-16-4m=0,
根据韦达定理，
xA+xB=8/3,(1)
xA*xB=-(16+4m)/3,(2)
xP=-4,
C（0，1）,
（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）^2,
(-4-xA)(xB+4)=(-4-0)^2,
-4xB-xAxB-16-4xA=16,
-4(xA+xB)-xAxB=32,
由（1）（2）代入，
-4*8/3+(16+4m)/3=32,
4m=112,m=28,
∴双曲线方程为：x^2-4y^2=28,
即x^2/28-y^2/7=1,

Answer 2

跟向量无关，是射影定理。|PA|•|PB|=|PC|平方