Question

已知双曲线G的中心在原点,它的渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切,过点P

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线G的渐近线的方程；
(2)求双曲线G的方程；
解：
圆方程 x^2-10x+25+y^2=5,
(x-5)^2+y^2=5,
圆心（5，0），半径√5，
设一条渐近线方程为y=kx,
kx-y=0,
圆心（5，0）至渐近线距离（圆半径）R=|5k-0|/√（k^2+1)=√5，
25k^2=5k^2+5,
4k^2=1,
k=±1/2，
∴渐近线方程为：y=±1/2X,
(2)（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，
把直线l的方程y= 14（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x2-8x-16-4m=0，
则xA+xB= 83，xAxB=- 16+4m3．
∵|PA|•|PB|=|PC|2，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，即（xB+4）（-4-xA）=16，
整理得4（xA+xB）+xAxB+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
我的问题是：
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x2-4y2=m，这是怎么来的，双曲线方程不应该是x2/a2-y2/b2=m么。代入y=1/2X,等于x2/4-y2/1=m，去掉分母得x2-4y2=4m？为什么后面不是4m？

Answer 1

以y=±b/aX为渐近线方程的双曲线方程可以设为x^2/a^2-y^2/b^2=M
以y=KX为渐近线的双曲线方程可以设为X^2-Y^2/K^2=M

追问

怎么得到的，y=kx,k在这里不就等于±b/a么，结合这道题是±1/2

为什么结果不是
x2-4y2=4m？

追答

结果可以是x2-4y2=4m这里面m是个参数和x2-4y2=m里面的m不一样。