Question

如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，E是AD上一点，且满足

在锐角三角形ABC中 AD是BC上的高 E是AD上一点 且满足AE比ED=CD比DB, 过D做DF⊥BE, F为垂足 ,求证 ∠AFC=90度
要有较详细的证明过程。

Answer 1

由已知AE/ED=CD/DB，得AE/CD=ED/DB。①
在△EFD与△EDB中，∵AD⊥BD，DF⊥BE，
∴∠EFD=∠EDB=90°，且有共用锐角∠BED，
∴△EFD∽△EDB，得EF/FD=ED/BD。②
由①和②得AE/CD=EF/FD。③
由AD⊥BD，DF⊥BE，还推知∠BED=∠FDB，
从而∠AEF=∠CDF，④
据④和③得△AEF∽△CDF，对应角∠EFA=∠DFC，
∵∠EFD=90°，
∴∠AFC=∠EFD-∠DFC+∠EFA=∠EFD=90°。