如图,点D在三角形的边BC上,且与B、C不重合,过点D作AC
点D在三角形ABC的边BC上,且与B、C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F,又知BC=5.1.设三角形ABC的面积为S,若四边形A...
点D在三角形ABC的边BC上,且与B、C不重合,过点D作AC的平行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F,又知BC=5.
1.设三角形ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为(2/5)S,求BD的长;
2.若AC=(根号2)AB,且DF经过三角形ABC的重心G,求E、F两点的距离.
要有详细的解题过程. 展开
1.设三角形ABC的面积为S,若四边形AEDF的面积为(2/5)S,求BD的长;
2.若AC=(根号2)AB,且DF经过三角形ABC的重心G,求E、F两点的距离.
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(1)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴△BDE∽△BCA∽△DCF,
记S△BDE=S1,
S△DCF=S2,
∵SAEFD= 2/5S,
∴S1+S2=S- 2/5S= 3/5S.①
√S1/√S= BD/BC, √S2/√S= CD/BC,
于是 √S1/S+ √S2/S= ﹙BD+CD﹚/BC=1,即 √S1+√ S2= √S,
两边平方得S=S1+S2+2 √﹙S1S2﹚,
故2 √﹙S1S2﹚=SAEFD= 2/5S,即S1S2= 1/25S2.②
由①、②解得S1= ﹙3±√5﹚/10S,即 S1/S=﹙ 3±√5﹚/10.
而 S1/S= (BD/BC)²,即 ﹙3±√5﹚/10= (BD/5)2,解得BD= ﹙5±√5﹚/2.
(2)由G是△ABC的重心,DF过点G,且DF∥AB,可得 CD/CB= 2/3,则DF= 2/3AB.
由DE∥AC, CD/CB= 23,得DE= 1/3AC,
∵AC= ∨2AB,∴ AC/AB=√ 2, DF/ED= 2AB/√﹙2AB﹚=√ 2,
得 DF/DE= AC/AB,即 DF/AC= DE/AB,
又∠EDF=∠A,故△DEF∽△ABC,
得 EF/BC= DE/AB,所以EF= 5√2/3.
∴△BDE∽△BCA∽△DCF,
记S△BDE=S1,
S△DCF=S2,
∵SAEFD= 2/5S,
∴S1+S2=S- 2/5S= 3/5S.①
√S1/√S= BD/BC, √S2/√S= CD/BC,
于是 √S1/S+ √S2/S= ﹙BD+CD﹚/BC=1,即 √S1+√ S2= √S,
两边平方得S=S1+S2+2 √﹙S1S2﹚,
故2 √﹙S1S2﹚=SAEFD= 2/5S,即S1S2= 1/25S2.②
由①、②解得S1= ﹙3±√5﹚/10S,即 S1/S=﹙ 3±√5﹚/10.
而 S1/S= (BD/BC)²,即 ﹙3±√5﹚/10= (BD/5)2,解得BD= ﹙5±√5﹚/2.
(2)由G是△ABC的重心,DF过点G,且DF∥AB,可得 CD/CB= 2/3,则DF= 2/3AB.
由DE∥AC, CD/CB= 23,得DE= 1/3AC,
∵AC= ∨2AB,∴ AC/AB=√ 2, DF/ED= 2AB/√﹙2AB﹚=√ 2,
得 DF/DE= AC/AB,即 DF/AC= DE/AB,
又∠EDF=∠A,故△DEF∽△ABC,
得 EF/BC= DE/AB,所以EF= 5√2/3.
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