Question

关于函数y=f(x)有下列4个叙述， 1.对于函数定义域内的任意x,都有f(x+2π）=f(x)成立

2.函数y=f(x)没有最大值
3.函数y=f(x)在区间（0，2π）上是增加的
4.函数y=f(x)的图象关于原点对称
问：函数y=xsinx符合上述哪几个条件，是否存在符合上述4个条件的函数，说出你的理由
我们还没有学那些倍角公式，和差公式之类的

Answer 1

1、f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sinx≠f(x) 错误
2、该函数在（-∞，+∞）上为无界函数，故没有最大值，正确
3、y'=sinx+xcosx<0 当x∈（π，3π/2）时，所以在此区间上不完全单调递增，错误
4、f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x)为偶函数，应关于y轴对称，错误

追问

可是题目上只说是增加，并没有说单调递增啊

追答

也不增加

追问

那有没有符合4个条件的函数呢？理由呢

追答

没有，因为第四条说明是奇函数，函数y=f(x)在区间（0，π）上是增加的
则当x∈（-π，π）时，函数都是增加的。
取x1∈（-π，0），x2∈（0，π），则f(x2)>=f(x1)，取x3∈（π，2π），且x3=x1+2π，
则应有f(x3)>=f(x2)>=f(x1)=f(x3)
则该函数只能为常函数，可是常函数存在最大值，和已知矛盾。

Answer 2

满足条件1。 条件2： 由于0到π上，f(x)>0 f(π)=0 ; π到 2π f(x)<0 f(2π) =0.知 最大应该在0到π上
条件3： 由上分析可知错误。
条件4： 计算de f(x) =f(--x) Y duichen

追问

那有没有符合4个条件的函数呢