Question

抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．
（1）当a=-1，b=1时，求抛物线n的解析式；
（2）四边形AC1A1C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC1A1C为矩形，请求出a，b应满足的关系式．

Answer 1

(1) y = -x² + 1

1 - x² = 0, x = ±1

A(-1, 0), B(1, 0), C(0, 1)

抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n, AB = BA1 = 2, A1(3, 0)

设C1(p, q), B为CC1的中点

1 = (0 + p)/2, p = 2

0 = (1 + q)/2, q = -1

C1(2, -1)

n可以表达为y = c(x-1)(x-3), 代入C1的坐标，c = 1

n的解析式: y = (x-1)(x-3)

(2) BC = BC1, AB = BA1

AC1A1C为平行四边形

(3) m: y = ax² + b = 0

x = ±√(-b/a)

A(-√(-b/a), 0), B(√(-b/a), 0)

AB = BA1, A1(3√(-b/a), 0)

与(1)类似，可以求出C1(2√(-b/a), -b)

若四边形AC1A1C为矩形, 则AC⊥AC1即可

AC的斜率u = (b -0)/［0 + √(-b/a)］= √(-ab)

AC1的斜率v = (-b -0)/［2√(-b/a) + √(-b/a)］= -[√(-ab)]/3

AC⊥AC1, uv = [√(-ab)]{-[√(-ab)]/3} = ab/3 = -1

ab = -3

Answer 2

⑴抛物线m与X轴交点B的坐标为(1，0)，由点对称知C1坐标为(1，-1)，
抛物线n的解析式中a=1，所以得解析式为y=(x-1)^2-1
⑵由旋转180°知：AB=A1B，CB=C1B，所以四边形AC1A1C为平行四边形。
⑶当AB=CB时，四边形为矩形。由于OA=OB，∴OC=2OB，由C(0，b)得B(b/2，0)代入抛物线m的解析式得：0=a(b/2)^2+b，∵b>0，约去b，整理得：ab=-4。

Answer 3

1
m y=-x^2+1
代入y=0
x=±1
A(-1,0) B(1,0) C(0,1)
n是m绕B点转180°所得
m、n 是以B为对称点的点对称图形
A1(3,0) C1(2,-1)
n y=x-1
2
m n 为点对称图形
AC1∥CA1
AC∥C1A1
四边形AC1A1C是平行四边形
AC的斜率k1=(0-1)/(-1-0)=1
AC1的斜率k2=(0+1)/(-1-2)=-1/3
K1*K2=-1/3
四边形AC1A1C是平行四边形
3
y=ax^2+b
C(0,b) A((-b/a)^0.5,0) b((-b/a)^0.5,0)
C1(2(-b/a)^0.5,-b)
k1=(0-b)/((-b/a)^0.5-0)=b/(-b/a)^0.5
k2=(0+b)/(-b^0.5-2b^0.5)=b/(3(-b/a)^0.5)
四边形AC1A1C为矩形
k1*k2=-1
(b/(-b/a)^0.5)(b/(3(-b/a)^0.5))=-1
b^2/(b/a)=-3
a*b=-3

Answer 4

①将ab带入表达式得y＝－x′2＋1②平行四边形，旋转之后易得A1横坐标为3，纵坐标为0，C1横坐标为2，纵坐标为－1，从而得出AC1＝CA1，AC＝A1C1，则三角形CAA1与三角形C1AA1相似，则∠CA1A＝∠A1AC1，于是A1C平行于AC1，则为平行四边形③由题C点纵坐标为b，A点横坐标为√－b╱a，A1横坐标为－3√－b╱a，所以，若为矩形则AC⊥A1C，由勾股定理得出AC平方＝（－b╱a）＋b'2，同理A1C平方等于b'2＋3'2（－b╱a），他俩的和等于AA1的平方即4'2（－b╱a），得出a×b＝－3

Answer 5

看图就知道啦，鄙人比较懒