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分别连结A1B、BC1、C1D，A1D、BD、A1C1，
各棱均为正方形的对角线，均相等，故组成正四面体C1-A1BD，
从C1作高C1H，连结BH，设正四面体棱长为单位1，
△A1BD是正△，
BH=（√3/2）*2/3=√3/3，（根据重心性质）
CH=√6/3，则sin<HBC=C1H/C1B=√6/3，
∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为√6/3。
各棱均为正方形的对角线，均相等，故组成正四面体C1-A1BD，
从C1作高C1H，连结BH，设正四面体棱长为单位1，
△A1BD是正△，
BH=（√3/2）*2/3=√3/3，（根据重心性质）
CH=√6/3，则sin<HBC=C1H/C1B=√6/3，
∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为√6/3。
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东莞大凡
2024-11-14 广告
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以DD1为z轴，DA为x轴，DC为y轴，D为原点，建立坐标系，可求平面A1BD的
法向量为（-1,1,1），而向量BC1为（-1,0,1），所以所成角的正弦值是1
法向量为（-1,1,1），而向量BC1为（-1,0,1），所以所成角的正弦值是1
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连结AC1交平面A1BD于点H。由三垂线定理知，AC1垂直A1B，AC1垂直BD，即AC1垂直平面A1BD
所以，角C1BH为二直线BC1与平面A1BD所成角。
在正三棱锥A-A1BD中，AH垂直底面A1BD，所以H为正三角形A1BD的重心。
设正方体棱长为a，BC1=√2a，BH=(√6/3)a，C1H=(2√3/3)a。
sinC1BH=C1H/BC1=[(2√3/3)a]/(√2a)=√6/3
所以，角C1BH为二直线BC1与平面A1BD所成角。
在正三棱锥A-A1BD中，AH垂直底面A1BD，所以H为正三角形A1BD的重心。
设正方体棱长为a，BC1=√2a，BH=(√6/3)a，C1H=(2√3/3)a。
sinC1BH=C1H/BC1=[(2√3/3)a]/(√2a)=√6/3
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