Question

证明函数y=x+1/x 在（1，正无穷）上是增函数

Answer 1

设x1，x2∈(1,正无穷)，且x1<x2f(x1)-f(x2) =x1-x2+(x2-x1)/x1*x2 =(x1-x2)(1-1/x1*x2)因为x1<x2所燃含枯以x1-x2<0因为x1>1,x2>皮洞1，x1*x2>11/x1*x2<11-1/x1*x2>0f(x1)-f(x2)<0所以x在(1,正无老判穷)上为增函数

Answer 2

运用微积分，直接求导
y` = 1 - x^(-2)
当洞仿x > 1时，x^(-2) < 1，即改灶y` > 0，纳歼纤可得y = x + 1/x 为增函数

Answer 3

定义法
令x1>x2>1 则f（x1）-f（x2）=x1+1/x1-x2-1/扒拍顷x2=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]
因为x1>x2>1 所以x1-x2>0 且1-1/(x1*x2)>0
所以f（x1）-f（x2）=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)]>0
即f（x1）>f（春陆x2）
所以函数是增函贺帆数

Answer 4

假设1<b<肢肢迅a，f（a）=a+1/a f(b)=b+1/b.
f(a)-f(b)=(a-b)+(1/a-1/b)=(a-b)+( b-a)/饥粗ab
=(a-b)(1-1/ab)
因为1<b<a，所以a-b>0, 因为1<b<a，所以ab>1 , 1/ab <1，所以(1-1/ab)>0
可知(a-b)(1-1/ab)>0,问题历此得证

Answer 5

y'=(x^2-1)/x^2 当x>1时棚键，分子大于零，所以棚租y'>链和巧0，所以函数在（1,正无穷）递增