Question

长方体ABCD-A1B1C1D1，E是BC中点，M,N分别是AE,CD1的中点，AD=AA1=a,AB=2a,求证，MN平行ADD1A1

要求用向量建立坐标做
我总是算不出ADD1A1的法向量
帮忙

Answer 1

以点A为原点，以AB所在的方向为x轴，AD的方向为y轴，AA1的方向为z轴建立直角坐标系。
ADD1A1的法向量可以选择向量AB，就是n=（1,0,0），M(a，a/4，0），N(a，a，a/2)
所以向量MN为（0,3a/4，a/2)
那个法向量与MN的乘积为0，所以垂直，所以MN平行于ADD1A1。

追问

直接说向量AB是ADD1A1的法向量就行了吗？

追答

嗯，这是最基础的知识，所以不用证明了。

追问

我们今天刚讲，只讲了设法向量为（x,y,z）然后列方程求解，我为什么算不出来？

追答

我记得不是设法向量为（x，y，z）吧，应该是直接把其中一个设为1，如设法向量为（1，y，z）
其他的题还可以设为（x，1，z）或（x，y，1）
但这个题只能设为（1，y，z），因为，y，z为0，不可以设为1

就算是设为（x，y，z），也可以求出y，z为0，但x求不出，可以为任意数，所以x=1就可以了。

追问

忘记说了，谢谢

Answer 2

解：（Ⅰ）证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD1
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∴面MNK∥面ADD1A1
∴MN∥面ADD1A1
（Ⅱ）设F为AD的中点
∵P为A1D1的中点∴PF∥DD1
∴PF⊥面ABCD
作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH
从而∠PHF为二面角P-AE-D的平面角．
在Rt△AEF中， AF=a2，EF=2a，AE=172a，从而 FH=AF•EFAE=a2•2a172a=2a17
在Rt△PFH中， tan∠PFH=PFFH=DD1FH=172
故：二面角P-AE-D的大小为 arctan172

追问

看清要求，好吗？

追答

这个方法简单

追问

我们老师要求用向量方法做！！！！

Answer 3

好几年了，怎么用向量做忘了，但是要用几何证明还是很容易的。取CD中点F，由于MN都是中点，MF//AD,NF//DD1,所以，平面MNF//ADD1A1，所以MN//ADD1A1

Answer 4

嘻嘻嘻

Answer 5

证明：取CD的中点K，连接MK，NK
∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点
∵MK∥AD，NK∥DD1
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
∴面MNK∥面ADD1A1∴MN∥面ADD1A1