Question

已知二次函数的图像经过(2,—3),对称轴x=1,图像与x轴的两个交点A,B之间的距离为四,与Y 轴交于点C，顶点是D

A在B的左边
是否存在直线Y=kx(k＜0)与直线BD相交并把四边形ABCD面积分为相等的两部分？若存在，求出K的值

Answer 1

图像经过(2,—3),对称轴x=1，
图像与x轴的两个交点A,B之间的距离为4， 设A(t,0), 则B(t+4,0)
可设函数为：y=a(x-t)(x-t-4), 其对称轴为AB的中点，即t+2=1, 因此得：t=-1
y=a(x+1)(x-3), 代入点（2，-3）得：-3=a*3*(-1),得：a=1
因此y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3
A(-1,0), B(3,0), C(0, -3), D(1, -4)
过D作X轴的垂线E，得：
ABCD的面积为=S(BDE)+S(EDCO)+S(OAC)=1/2*2*4+(3+4)*1/2+1/2*1*3/2=8.25
y=kx与BD交于F
BD直线: y=2(x-3)=2x-6， 与y=kx的交点：(6/(2-k), 6k/(2-k))
S(OBF)=1/2* 3*(-6k)/(2-k)=-9k/(2-k)=8.25*1/2=4.125
解得：k=-68/39

Answer 2

∵抛物线的对称轴x=1，图像与x轴的两个交点A、B之间的距离为4，
得A(-1，0)，B(3，0)，
可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，抛物线经过(2，-3)
∴-3=a(2+1)(2-3)，a=1，解析式为y=(x+1)(x-3)或y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4
顶点坐标D(1，-4)，C(0，-3)
从而△OAC的面积为1.5，设对称轴x=1与x轴相交于E，则△DBE的面积为4，
梯形OCDB的面积为3.5，∴四边形ABDC的面积为9，
把四边形面积平分的话，每个部分面积为4.5，以OB=3为底面积为4.5的三角形的高为3，
即直线BD上，纵坐标为-3的点，
由B(3，0)、D(1，-4)得直线BD的解析式为y=2x-6，令y=-3得x=1.5，
∴把面积平分的直线过(1.5，-3)点
代入解析式可得k=-2。