Question

初二几何数学题

如图，AM、BE是三角形ABC的角平分线，AM叫BE于N，AL⊥BE于F交BC于L，若∠ABC=2∠C，求证：1.BE=EC；2.BF=AE+EF；3.AC=BM+BL；4.∠MAL=四分之一∠ABC

Answer 1

证明：
（1）BE是∠ABC的角平分线 则∠EBC=∠ABC/2
因为 ∠ABC=2∠C 则∠EBC=∠C
则△BEC为等腰三角形 则BE=EC
（2） 因为∠AEB=∠EBC+∠ECB=2∠ECB=∠ABC
∠ABE=∠ACB ∠BAC=∠EAB
则 △ABE∽△ABC
则AE/AB=AB/AC
则 AB^2=AE*AC
在直角三角形AFB与直角三角形AFE中
AF^2=AB^2-BF^2=AE^2-EF^2
把 AB^2=AE*AC 带入上式 得
AE*AC-BF^2=AE^2-EF^2
则BF^2=AC*AE-AE^2+EF^2
BF^2=AE*(AC-AE)+EF^2
BF^2=AE*EC+EF^2
BF^2=AE*BE+EF^2
(BE-EF)^2=AE*BE+EF^2
BE^2-2BE*EF+EF^2=AE*BE+EF^2
BE^2-2BE*EF=AE*BE
BE-2EF=AE
BE-EF=AE+EF
即BF=AE+EF
(3)延长AB到N使BN=BM
则△BMN为等腰三角形
则 ∠BNM=∠BMN
△BNM的一个外角∠ABC =∠BNM+∠BMN=2∠BNM
则 ∠BNM=∠ACB
△AMC与△AMN中 ∠BAM=∠MAC
AM=MA ∠BNM=∠ACB
则△AMC≌△AMN
则AN=AC=AB+BN=AB+BM
又因为AL垂直BE
则 △AFB与△BLF中 BF=BF ∠ABF=∠MBF ∠AFB=∠BFM=90
则 △AFB≌ △BLF 则AB=BL
则AN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL
即AC=BM+BL

Answer 2

1、∵∠ABC=2∠C，BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC=∠C，立得BE=EC。
2、∠AEB是等腰三角形△EBC的顶角上的外角，∠AEB=2∠C=∠ABC。
在线段FB上取一点G，使FG=EF,，连接AG，
∵AL⊥BE于F，由作法知△AFG≌△AFE，得AG=AE，∠AGE=∠AEB=∠ABC，
在△ABG中，∠BAG=∠AGE-∠ABG=∠ABC-∠ABC/2=∠ABC/2=∠ABG，
∴BG=AG=AE，那么BF=BG+FG=AE+EF。
3、因为∠ABE=∠EBC，AL⊥BE,，∴rt△ABF≌rt△LBF，得AB=BL；
∵∠ABC＞∠C，∴AC＞AB，在AC上取AH=AB，连接MH，
∵AM是∠BAC的平分线，易证△ABM≌△AHM，得BM=HM，∠AHM=∠ABC=2∠C，
在△HMC中，∠HMC=∠AHM-∠C=2∠C-∠C=∠C，
∴HM=HC=BM，那么AC=HC+AH=BM+AB=BM+BL。
4、记∠C的度数为C，则∠ABC=2C，∠ABF=C，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-3C，
在rt△ABF中，∠BAF=90°-∠ABF=90°-C，
又∠BAF=∠BAM+∠MAL=∠BAC/2+∠MAL=(180°-3C)/2+∠MAL，
∴∠MAL=(90°-C)-(180°-3C)/2=C/2=∠ABC/4。

Answer 3

证明：
（1）BE是∠ABC的角平分线
则∠EBC=∠ABC/2
因为 ∠ABC=2∠C
则∠EBC=∠C
则BE=EC
（2） 因为∠AEB=∠EBC+∠ECB=2∠ECB=∠ABC
∠ABE=∠ACB ∠BAC=∠EAB
则 △ABE∽△ABC
则AE/AB=AB/AC
则 AB^2=AE*AC
在直角三角形AFB与直角三角形AFE中
AF^2=AB^2-BF^2=AE^2-EF^2 (!)
把 AB^2=AE*AC 带入(!)式
AE*AC-BF^2=AE^2-EF^2
则BF^2=AC*AE-AE^2+EF^2
BF^2=AE*(AC-AE)+EF^2
BF^2=AE*EC+EF^2
BF^2=AE*BE+EF^2
(BE-EF)^2=AE*BE+EF^2
BE^2-2BE*EF+EF^2=AE*BE+EF^2
BE^2-2BE*EF=AE*BE
BE-2EF=AE
BE-EF=AE+EF
即BF=AE+EF
(3)延长AB到N使BN=BM
则△BMN为等腰三角形
则 ∠BNM=∠BMN
△BNM的一个外角∠ABC =∠BNM+∠BMN=2∠BNM
则 ∠BNM=∠ACB
△AMC与△AMN中 ∠BAM=∠MAC
AM=MA ∠BNM=∠ACB
则△AMC≌△AMN
则AN=AC=AB+BN=AB+BM
又因为AL垂直BE
则 △AFB与△BLF中 BF=BF ∠ABF=∠MBF ∠AFB=∠BFM=90
则 △AFB≌ △BLF 则AB=BL
则AN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL
即AC=BM+BL

Answer 4

不会