Question

已知函数f（x）=x2-6x+4lnx+a（0＜x≤6）． （1）求函数的单调区间； （2）a为何值

已知函数f（x）=x2-6x+4lnx+a（0＜x≤6）．
（1）求函数的单调区间；
（2）a为何值时，方程f（x）=0有三个不同的实根．

Answer 1

f'(x)=2x-6+4/x=2(x²-3x+2)/x
(1) 令f'(x)>0，得(x²-3x+2)/x>0，即x(x-1)(x-2)>0，由于0＜x≤6，从而解得　0<x<1或2<x≤6
即f(x)在(0，1]和[2，6]上是增函数，同理，在[1，2]上的减函数。
(2) f(1)是极大值，f(2)是极小值。由于函数在单调区间内至多只有一个零点，
要使f（x）=0有三个不同的实根，则须f(x)在(0，1)、(1，2)、(2，6]上分别有一个零点，　
当x趋向于0时，f(x)趋向于负无穷，从而按函数零点的判定，须使　f(1)>0，f(2)<0，f(6)≥0
即1-6+0+a>0
4-12+4ln2+a<0
36-36+4ln6+a≥0
解得　5<a<8-4ln2

Answer 2

(1)f'(x)=2x-6+4/x=2(x-1)(x-2)/x
所以（0,1）增，（1,2）减，（2,6]增。
（2）有三个不同实根，则f(1)>0 f(2)<0
即1-6+a>0 4-12+4ln2+a<0 所以5<a<8-4ln2