Question

无穷级数问题

①n从1到正无穷
∑(sin n)^2/2^n是收敛还是发散
②为什么1/n和1/n^2一个收敛一个发散啊

Answer 1

(1)收敛
|(sin n)^2/2^n|<1/2^n
又∑1/2^n收敛，所以∑(sin n)^2/2^n绝对收敛，∑(sin n)^2/2^n收敛
(2)调和级数的证明比较抽象：
如果假设∑1/n收敛，记部份和为Sn，且设lim(n→∞)Sn=s
於是有lim(n→∞)S(2n)=s，有lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0
但是S(2n)-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2，与lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0矛盾
所以调和级数∑1/n是发散的

又讨论P-级数∑1/(n^p)的敛散性。
（1）当p≤1时，因为n^p≤n，而调和级数∑1/n是发散的，根据比较判别法知当0<p≤1时∑1/(n^p)是发散的
（2）当p>1时，对于任意实数x，当n-1≤x1≤n，有1/n^p≤1/x^p
1/n^p=∫1/n^p dx((n-1)~n)
≤∫1/x^p dx((n-1)~n)
=1/(p-1)[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)] (n=2,3,4....)
考虑级数∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]，其部份和Sn=1-1/n^(p-1)
又有lim(n→∞)Sn=1，所以∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]收敛，根据比较判别法，当p>1时，∑1/(n^p)收敛　

　比较判别法：一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

Answer 2

1/n当n->无穷时候 级数判定法则5种吧 任意一个都可得出 这里用柯西收敛准则 取P=M 取M至2M的项可以得出这M项求和可得其和大于1/2 当M区间个数趋向无穷时候显然发散 后面那个用1/n(n-1)当n大于等于2时 逼近它 明显我们取得是大于它的逼近 拆分1/n(n-1) 很简单的1/（n-1）-1/n 叠加就出来了 哥们我是纯手打 给点力啊。。