Question

已知关于x的不等式x²﹢ax﹢1≥0对一切x∈[0，½]恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(x²﹢ax﹢1)min≥0即可
分类求解f(x)=x²﹢ax﹢1,x∈[0，½]上的最小值，（关注对称轴和区间的位置讨论）

追问

这个我明白，就是分区间讨论时要注意零点的问题，零点又和a有关

追答

是的，
对称轴x=-a/2
分三种情况:
-a/2=1/2

追问

如果对称轴在区间左侧，零点在[0，½]之间，x的不等式x²﹢ax﹢1≥0对一切x∈[0，½]就不是恒成立，因为0到零点之间为负

追答

本题是求使不等式恒成立的a，不是任意a使不等式恒成立，两者是不同的概念
-a/2=1时，函数单调减f(x)最小=f(-1/2），

追问

按你说的分类，我怎么解出a属于全体实数

追答

-a/2=0解出a>=0；0=0解出-1=1/2,f(1/2)>=0解出-5/2=-5/2.

Answer 2

式x²﹢ax﹢1≥0对一切x∈[0，½]恒成立
相当于f(x) = x^2+ax+1在区间x∈[0，½]的图像不在x轴下方
f(x) = x^2+ax+1开口向上，对称轴x=-a/2

如果a≤-1，则对称轴x≥1/2，对称轴在区间右侧，区间内单调减，
最小值f(1/2)=1/4+a/2+1≥0
a≥-5/2
∴-5/2≤a≤-1

如果-1＜a＜0，对称轴x在区间[0，1/2]内，极值即最小值，
f(-a/2) = a^2/4-a^2/2+1≥0
a^2≤4
-2≤a≤2
∴-1＜a＜0

如果a≥0，则对称轴x≤0在区间[0，1/2]左侧，区间内单调增，
f(0)=0+0+1≥0恒成立

综上：a≥-5/2

Answer 3

a的取值范围是：1、当X=0时，a∈（-∝,+∞).2、当X=1/2时，a=-5/2.