Question

求助一个数学问题，非常感谢

已知椭圆：X^/4 +y^/3 =1
直线y=kx-2与椭圆相交于A、B，连OA、OB，取OA、OB中点M、N，连MN，以MN为直径做圆，恰好过原点，求K的值？

Answer 1

由取OA、OB中点M、N，连MN，以MN为直径做圆，恰好过原点得
OA垂直OB
设A(x1,y1),B(x2,y2)得
y1/x1*y2/x2=-1
y1*y2=-x1*x2
y1*y2=(kx1-2)(kx2-2)=k^2(x1*x2)-2k(x1+x2)+4=-x1*x2 (1)
由X^2/4 +y^2/3 =1直线y=kx-2与椭圆相交于A、B得
X^2/4+（kx-2)^2/3=1
整理得
（4K^2+3)x^2-16kx+4=0
所以x1+x2=16k/(4K^2+3) (2)
x1*x2=4/(4K^2+3) (3)
将（2）（3）带入（1）得
y1*y2=(kx1-2)(kx2-2)=k^2(x1*x2)-2k(x1+x2)+4
=4k^2/(4K^2+3) -32k^2/(4K^2+3) +4=-4/(4K^2+3)
整理得
k^2=4/3
k=±2/3√3

Answer 2

这样的题一般都采取这个做法，直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理，构建要求字母的方程（不等式），最后求解。希望这个做法能给你启发，一边把这类问题掌握，祝你学习进步：

Answer 3

由题意的，OM垂直ON，既是OA垂直OB
把焦点方程列出来，解方程就行了（OA的斜率乘以OB的斜率=-1）