Question

如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位

如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DC－CA－AB以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点P作PF⊥BC，交折线AB－AC于点E，交直线AD于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，QE⊥AB？
（2）设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当Q在线段CA上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；
（4）在整个运动过程中（不包括动点的起始位置），是否存在时刻t，使得△PQF为直角三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

1>当t为何值时QE⊥AB?
a、当t=5时，因为在RTΔEPB中，BP=5,∠EBP=60°,∴BE=10,而AB=10,故A与E重合，
Q点在AC上，而∠BAC=60°,当t>5,E将不再AB上。∴当t≥5时，就不存在QE⊥AB.
b、当t<5时，且Q点在DC上时，过A点作AG⊥DC于G,因BP=t, BE=2t, EA=10-2t. ∠ADG=60°,AD=10,∴DG=5,又因AG⊥DC,QE⊥AB,AB∥CD∴四边形AEQG为矩形，AE=QG,
QG=3t-5,∴3t-5=10-2t,解得：t=3.如图1.
当3<t<5时，Q在AC上时，因△ABC为正三角形，∴∠EAQ=60°,2EA=QA, 2(10-2t)=20-3t,
解得t=0, 不合。
c、当10≥t≥(20/3)时，如图4，因∠BAC =∠CAD，QE⊥BA，EF⊥AD,∴EQ=EF,QA=AF
即：3t-20=t-5, 解得：t=7.5
2>设S△PQE为S，求S与t的函数关系。
a>当0≤t<(10/3)时，2S=√(3)BP(BC+AD/2-BP-QD/2),S=(-5√(3)/4)(t^2)+(15√(3)/2)t
b>当(10/3)≤t<5时，E还在AB上，G到AC上如图2，2S=√(3)BP(BC-BP-QC/2), 2S=√(3)t[10-t-(3t-10)] 整理得：S=10√(3)t-2√(3)(t^2)
c>当5≤t<(20/3)时，且E在右，Q在左时，2S=(√(3)/2)AB[AC-(2AF+QC)],2S=(10√(3)/2)[10-(2(t-5)+(3t-10))]
整理: S=(10√(3)/4)(30-5t),当S=0时，t=6，也即时当5≤t≤6时如图3， S=(5√(3)/2)(30-5t)
当6<t<(20/3)时,即Q在右，E在左时，2S=(√(3)/2)AB[2AF-(2AC-3t)],2S=(10√(3)/2)[2(t-5)-(20-3t)]
整理: S=(5√(3)/2)(5t-30)
综合,当5≤t<(20/3)时， S=(10√(3)/4)|5t-30|
d>当(20/3)≤t≤10时,由第一问可知EF与△BQE的高相等。EF=(√(3)/2)AB-EP=5√(3)-√(3)(10-t)=√(3)(t-5) 2S=BQ*EF,2S=[AB-(3t-20)]*√(3)(t-5),整理: S=3√(3)((-t^2)+15t-50)

3>当Q在CA运动时，△PQF为等腰三角形，t为何值？
a>当(10/3)≤t≤(20/3)时,
⑴若PQ=FQ,因为PF⊥BC，PF⊥AD,Q点就在PF的中垂线上，即交AC于中点。
15=3t, 得：t=5.
⑵过Q作QH⊥BC，以B点为圆心建立直角坐标系。得到：F(t,5√(3)); Q(10-(1/2)(3t-10),(√(3)/2)(3t-10)),
P(t,0),|FQ|=((15-(5t/2))^2)+((10√(3)-(3√(3)t/2))^2),|PQ|=(((√(3)/2)(3t-10))^2)+((15-(5t/2))^2)整理: |FQ|(^2)=(52/4)(t^2)-165t+525
， |PQ|(^2)=(52/4)(t^2)-120t+300. 若：|FQ|=5√(3)，解得：t=(165-15√(17)/26); 若：|PQ|=5√(3),解得：t=(60+15√(3)/13)
4>在整个运动过程中（不包括动点的起始位置），是否存在t，使得△PQF成直角三角形？
存在的，当t=(10/3)时，即Q与C重合时，QP⊥FP.

Answer 2

1）解：∵QD=3BP=3t,BE=2BP=2t
∵QE⊥AB
∴AE=BP+CA==>AE+CQ=5，AE-CQ=BP
∴CQ=(5-t)/2，AE=(5+t)/2
AE+BE=10
解得：t=3

2)解：过Q做QM⊥EP
∵Q点在折线上距离是3t,
∴Q点在QM上是3t/2
∴QM=|15-3t/2-t|=|15-5t/2|
t<=5,S=√3/2t|15-5t/2|
t>5，S=√3/2(10-t)|15-5t/2|

3）当Q至AC中点时，E运动至A点，
此时t=5

4）若△PQF为直角三角形
则：①QP⊥PF，Q运动至C，B点时，t=10/3，t=10
②QF⊥FP，A时，t=20/3

Answer 3

你好！！

1）解：∵QD=3BP=3t,BE=2BP=2t
∵QE⊥AB
∴AE=BP+CA==>AE+CQ=5，AE-CQ=BP
∴CQ=(5-t)/2，AE=(5+t)/2
AE+BE=10
解得：t=3

2)解：过Q做QM⊥EP
∵Q点在折线上距离是3t,
∴Q点在QM上是3t/2
∴QM=|15-3t/2-t|=|15-5t/2|
t<=5,S=√3/2t|15-5t/2|
t>5，S=√3/2(10-t)|15-5t/2|

3）当Q至AC中点时，E运动至A点，
此时t=5

4）若△PQF为直角三角形
则：①QP⊥PF，Q运动至C，B点时，t=10/3，t=10
②QF⊥FP，A时，t=20/3
③QP⊥QF