Question

求证(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)=(n+1)/2n,给出详细的推导步骤,谢谢

Answer 1

(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)
=(2+1)(2-1)(3+1)(3-1)(4+1)(4-1)…(n+1)(n-1)/(n!)^2
=[3*4*5*…(n+1)]*[1*2*3…(n-1)]/(n!)^2
=(n+1)!(n-1)!/[2*(n!)^2]
=(n+1)*n!*n!/[2*n*(n!)^2
=(n+1)/(2n)

Answer 2

1-1/3^2=（3^2-1）/3^2=（3+1）（3-1）/（2+1）^2
1-1/4^2=（4^2-1）/4^2=（4+1）（4-1）/（3+1）^2
。。。
1-1/（n+1)^2=（n+2）n/（n+1）^2
两边相乘
(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/n^2)
=（2-1）*（n+2)/[(1+1)*(n+1)]
=(n+2)/2(n+1)

(1-1/2^2)(1-1/3^2)...(1-1/【n-1】^2)=(n+1)/2n

Answer 3

方法一：原式等于[（2＋1）（2－1）（3+1）（3－1）…(n+1)(n－1)]/2^2×3^2×…×n^2把这个式子化简之后得（n＋1）/2n

Answer 4

数学归纳法…手机无力，简单分析…
当n＝2的时候带入是成立的，假设当n＝k的时候成立，则当n＝k＋1的时候，（1-1/2∧2）（1-1/3∧2）…（1-1/k∧2）（1-1/k＋1∧2）＝（k＋1）/（2k）×（1-1/k＋1∧2）＝（k＋2）/（2k＋2）此式得证