Question

设D={（x,y）／x^2+y^2≤x},求∫∫x^1/2dxdy

Answer 1

D={(x,y)|x^2+y^2≤x}={(x,y)|(x-1/2)^2+y^2≤1/2}
∫∫x^1/2dxdy=∫[0,1]x^1/2dx∫ [-(x-x^2)^1/2,(x-x^2)^1/2]dy
=∫[0,1]x^1/2*2(x-x^2)^1/2dx=∫[0,1]2x*2(1-x)^1/2dx
令t=(1-x)^1/2,x=1-t^2,dx=-2tdt
原式=∫[0,1]2(1-t^2)t*2tdt=4*∫[0,1](t^2-t^4)dt=4*1/3-4*1/5=8/15。
[ , ]表示[下限,上限]
可能运算时出错，方法应该是对的，仅供参考。