Question

如图在平面直角坐标系中，坐标原点O，A点坐标为（4，0），B点坐标（-1，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作

如图在平面直角坐标系中，坐标原点O，A点坐标为（4，0），B点坐标（-1，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴正半轴于C点
①求经过A、B、C三点抛物线解析式．
②M为①中抛物线顶点，求直线MC对应函数表达式．
③试说明MC与⊙P的位置关系，并说明你的结论．

Answer 1

① 圆心P(3/2, 0), 半径r = 5/2
圆方程: (x - 3/2)² + y² = (5/2)²
取x = 0, y = ±2
C(0, 2)
显然过A、B、C三点抛物线可以表达为: f(x) = a(x+1)(x-4)
f(0) = -4a = 2, a = -1/2
f(x) = -(x+1)(x-4)/2

② 抛物线的对称轴为x = (4-1)/2 = 3/2
顶点M(3/2, 25/8)
直线MC对应函数表达式: (y - 2)/(x -0) = (25/8 - 2)/(3/2 - 0)
y = 3x/4 + 2

③y = 3x/4 + 2
3x -4y + 8 = 0
P与MC的距离为d = |3*3/2 -4*0 + 8|/√(3² + 4²) = 5/2 = 半径r
MC与圆P相切。

Answer 2

1.y=-1/2(x+1)*(x-4)
2.y=3/4x+2
3.相切