Question

求抛物线y=2x^2的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程

Answer 1

y=2x+b代入抛物线方程得：2x^2-2x-b=0。设弦中点为(x,y)。
判别式=4+8b>0 b>-1/2
x1+x2=1，y1+y2=2(x1+x2)+2b=2b+2
x=1/2，y=b+1>1/2
所以，斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是射线(不含端点)x=1/2(y>1/2)。

Answer 2

直线是y=2x+a
则y=2x²=2x+a
2x²-2x-a=0
所以x1+x2=1
y1+y2=2x1+a+2x2+a=2+2a
中点x=(x1+x2)/2=1/2,y=(y1+y2)=1+a

有交点则2x²-2x-a=0有解
4+8a>=0
a>=-1/2
y=1+a>=1/2

所以方程是x=1/2，其中y>=1/2