Question

已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC 120°，求

Answer 1

我猜是这个
求：
（1） AD与平面BCD的成角
（2） AD与BC的成角
（3）二面角A-BD-C的正切值.

解：
（1）过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC
∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°

（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°

（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角
∵AE＝BE＝2ME
∴tg∠AME＝2，故二面角A－BD－C的正切值为－2

Answer 2

在平面ABC上延长CB，并作AH⊥CB，垂足H，连结BH，
∵平面ABC⊥平面DBC，AH⊥CB，
∴AH⊥平面DBC，
∴AH⊥DH，
设AB=DB=1个单位，
〈ABH=180度-〈ABC=60度，
AH=√3/2，BH=1/2，DH=√3/2，
△AHD是等腰RT△，AD=√2AH=√6/2，
在平面ABD上作BE⊥AD，则AE=AD/2=√6/4，
根据勾股定理，
BE=√（AB^2-AE^2）=√(1-6/16)= √10/4，
S△ABD=AD*BE/2=（√6/2）*（√10/4）/2=√15/8，
在△BHD中，因BH^2+DH^2=1,BD^2=1,
故△BHD是RT△
S△BDH=BE*DE/2=√3/8，
△BHD是△BAD在平面DBC上的射影，设二面角H-DB-A的平面角为θ
S△BAD=S△ABDcosθ,
cosθ= S△BAD/S△ABD=(√3/8)/ (√15/8)= √5/5，
∴θ=arc cos(√5/5)
而二面角H-DB-A是二面角A-DB-C的补角，
∴二面角A-DB-C为π- arc cos(√5/5)。

Answer 3

（1）过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC
∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°

（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°

（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角
∵AE＝BE＝2ME
∴tg∠AME＝2，故二面角A－BD－C的正切值为－2

Answer 4

求什么？