Question

谁帮我解下这道数学建模题啊 谢谢 谢谢！

有条10km长的公路，由一台除雪机负责除雪。每当路面的平均厚度达到0.5m时，除雪机开始工作. 但是雪仍在下着，路面雪的厚度在不断的增加，除雪机的前进速度会不断降低，其速度随雪的厚度呈现性变化，在无雪的路面上除雪机的行驶速度为13m/s；。当雪的厚度达到1.5m时，除雪机将无法工作。雪下了1h,雪最大时路面积雪厚度以0.1cm/s速度增加，前0.5h雪越下越大，后0.5h越下越少。问除雪机能否将整条路面的积雪清除？

Answer 1

当然这与降雪的速度有关，以下在一些合理的假设下进行讨论和计算。

已知：在无雪的路面上除雪机的行驶速度为10m/s；雪下了1时，雪最大时路面积雪的厚度以0.1cm/s的速度增加，前半小时雪越下越大，后半小时越下越小。

假定除雪机的速度v随雪的厚度h线性变化，利用已知条件可得v=10（1-2h/3）。而h是时间t的函数，假定前半小时h′(t)匀速增加而后半小时匀速减少，可得

（单位：m/s），

再积分得到：

，注意h（t）也是分段函数。

下面可以利用Mathematica进行计算了。

In[1]：= h1 = 0.001（s /1800 UnitStep[1800 - s] +

（2 – s /1800）UnitStep[s - 1800]）；

h = Integrate[h1，{s，0，t}]；

v = 10（1 - 2h /3）；

h / . t→1800

Out[4]= 0.9

In[5]：= h / . t→3600

Out[5]= 1.8

在In[1]中的h1是h′(t)，对它求定积分得到雪的厚度h(t)。Out[4]给出t=1800 s时雪的厚度是0.9m，Out[5]表明t=3600 s时雪的厚度是1.8m。

除雪机从雪的厚度是0.5m时开始工作，直到雪的厚度是1.5m时停止，以下求出它开始和停止工作的时间，再积分得到它前进的距离。

In[6]：=FullSimplify[h，t<1800]

Out[6]=2.77778×10-7t2

In[7]：=Solve[%= =0.5，t]

Out[7]={{t→ - 1341.64}，{t→1341.64}}

In[8]：= t0 = t / . %[[2]]

Out[8]=1341.64

In[9]：=FullSimplify[h，t>1800]

Out[9]= - 2.77778×10-7 (-6145.58+t)(-1054.42+t)

In[10]：=Solve[%= =1.5，t]

Out[10]= {{t→2560.77}，{t→4639.23}}

In[11]：= t1 = t / . %[[1]]

Out[11]=2560.77

In[12]：= Integrate[v，{t，t0，t1}]

Out[12]=3859.94

由于函数h(t)是分段的（表达式中含有函数UnitStep），解方程的函数Solve对它无能为力，只好分段求解。In[6]通过有条件的化简，成功地得到当t < 1800时h(t)的表达式。接下来，使用Solve求除雪机开始工作的时刻t0，并从解集中提取出合理的答案。同样再得到除雪机停止工作的时刻t1，最后In[12]求除雪机前进的距离，Out[12]表明除雪机只能清除大约4km的积雪。

使用Solve求解不方便，如改用求数值解的函数FindRoot，则容易的多：

In[13]：=FindRoot[h= =0.5，{t，900}]

Out[13]={t→1341.64}

In[14]：=FindRoot[h= =1.5，{t，2000}]

Out[14]= {t→2560.77}

这样就不必再分段求解了，但是有选取迭代初值的问题，注意不要选在分界点处。

追问

不过这些函数我好像不懂耶 呵呵 能有简单点的吗？

Answer 2

西邮的吧。。。顶起~~~~

Answer 3

牛b

追问

晕 你倒是会不会啊、

Answer 4

不会