Question

数学圆锥曲线题目，求高人解答！

已知曲线C：y=-x²+x+2与曲线C1关于点P（a，2a）中心对称，并且C与C1相交于A、B两点，记直线AB的斜率为k，(1)求a得取值范围；（2）求k的取值范围，要过程

Answer 1

1.设M(x,y)是曲线C'上任意一点，它关于P(a,2a)的对称点为N(2a-x,4a-y),
N在曲线C:y=-x^2+x+2①上，
∴4a-y=-(2a-x)^2+(2a-x)+2,
即y=x^2+(1-4a)x+4a^2+2a-2,②
为C'的方程。
(②-①)/2，x^2-2ax+2a^2+a-2=0,③
∵C与C'相交于A、B两点，
∴△/4=a^2-(2a^2+a-2)=-(a^2+a-2)>0,
∴a^2+a-2<0,
∴-2<a<1,为所求。
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),
由③，x1+x2=2a,
由①，y1-y2=-x1^2+x1+2-(-x2^2+x2+2)
=(x1-x2)[-(x1+x2)+1],
∴k=(y1-y2)/(x1-x2）=1-2a,(-2<a<1).
∴k的取值范围是(-1,5).

Answer 2

作图容易一点~你可以试试，
设A(x1，y1),B(x2,y2),A关于P对称的点为A'(x1',y1'),B关于P对称的点为B'(x2',y2')
因为A,B在C上，所以，y1,y2可以用x1,x2表示，又因为对称，x1',y1'可以用x1和a表示，x2',y2'可以用x2和a表示，将A'代入方程y=-x2+x+2，得到关于x1的新方程，因为x1有解，根据b^2-4ac>=0,求出a的范围，
k=(y2-y1)/(x2-x1)=1-(x1+x2)