Question

设函数f（x）=lnx+a/（x-1）在（0，1/e）内有极值

求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=lnx+a/(x-1)，
f '(x)=1/x-a/(x-1)^2=[(x-1)^2-ax]/[x(x-1)^2]，
令 g(x)=(x-1)^2-ax=x^2-(a+2)x+1，
因为 f(x) 在（0，1/e）内有极值，所以 g(x)=0 在（0，1/e）内有根。
由于 g(0)=1>0，
所以
（1）g(1/e)=1/e^2-(a+2)/e+1<0
或
（2）g(1/e)=1/e^2-(a+2)/e+1>=0，且 Δ=(a+2)^2-4>=0，且 0<(a+2)/2<1/e。
解1）得 a>e+1/e-2，
解2）得 空集，
所以，所求的a的取值范围是：（e+1/e-2，+∞）。

Answer 2

f（x）=lnx+e/（x-1）
f'(x)=1/x-e/(x-1)^2
f'(x)=0, g(x)=x^2-(e+2)x+1=0
g(0)g(1/e)=(1-2e)/e^2<0, g(x)=0的一根在（0,1/e）
函数f（x）=lnx+a/（x-1）在（0，1/e）内有极值

Answer 3

求导数 导数0在（0，1/e）内解.

Answer 4

分离参数更简单吧