Question

已知连续函数f(x)在(a,b]上单调递增，F(x)=∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a),证明F(x)在(a,b]上也单调递增。

Answer 1

解：要证明F(x)在(a,b]上也单调递增，只需证明F(x)的导数F'(x)>0即可，证明如下：
(注：过程中如果有积分的话上限都是x，下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知，存在a<ξ<x，使得∫f(t)dt=f(ξ)(x-a)
于是F'(x)=[f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a)]/(x-a)²=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
又因为f(x)在(a,b]上单调递增，所以f(x)>f(ξ),而显然x>a
所以：F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)>0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增。
证毕.

追问

为什么f(x)-f(ξ)大于0

追答

这是由于题目给出了f(x)是递增的，而我们根据积分中值定理也可以知道ξ是介于a和x之间的，也就是说ξ是小于x的，既然f(x)递增，且ξf(ξ)并不复杂，也就是f(x)-f(ξ)>0.

追问

积分中值定理： 　　若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立 　　∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)

不是a≤ ξ≤ b吗？

追答

啊，楼主，你说的是对的，我刚刚查了下，是闭区间，但是我认为这个证明过程还是没有问题的，这是因为只有当x=ξ时，f(x)才等于f(ξ)，而当x≠ξ，都有f(x)>f(ξ).也就是说，F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
，除了x=ξ这个点，F'(x)都是大于0的，此时F(x)都是递增的，当然x=ξ时这儿是个驻点，也就是导数为0可能会存在极值，但是，一个点并不会影响到这个函数整体的单调性，就好像这个函数y=x³这个函数，它在x=0处的导数也为0，但是这个函数的递增区间是整个实数集，所以说，一个点的导数为0并不会影响到整体的单调性，这是我的看法，楼主你认为呢?

追问

不我不是这个意思，既然由中值定理推出的是a≤ ξ≤ b，那怎么确定X大于ξ？X也是属于[a,b]的

追答

不是的楼主，中值定理在推导的时候是因为上限是b，下限是a，所以才推出了a≤ ξ≤ b，而这道题的上限是x，下限是a，所以应用中值定理以后固然就会得到a≤ ξ≤ x了，所以就可以确定了x大于ξ了。。

Answer 2

事实上，对于任意的y>x>=a，我们有f(y)>=f(x)>=f(a)，那么
F(y)-F(x)=
∫(上y,下a)f(t)dt/(y-a)-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)
={(x-a)*∫(上y,下a)f(t)dt-(y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt}/(x-a)(y-a)
分母=(x-a)(y-a)大于零；
分子=(x-a)*∫(上y,下a)f(t)dt-(y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt
=(x-a)*∫(上x,下a)f(t)dt + (x-a)*∫(上y,下x)f(t)dt - (y-a)*∫(上x,下a)f(t)dt
= (x-a)*∫(上y,下x)f(t)dt - (y-x)*∫(上x,下a)f(t)dt
>=(x-a)*(y-x)*f(x) - (y-x)*(x-a)*f(x) 【这是因为∫(上y,下x)f(t)dt >= (y-x)*f(x)，等等】
=0
故而F(y)>=F(x)，当y>x>=a时.

希望能够帮到你~~

Answer 3

首先 f连续，那么F就是可导的
F'(x)=f(x)/(x-a)-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)^2
F'(x)=∫(上x,下a)f(x)dt/(x-a)^2-∫(上x,下a)f(t)dt/(x-a)^2
F'(x)=∫(上x,下a)[f(x)-f(t)]dt/(x-a)^2
f(x)-f(t)≥0当t∈(a,x]
所以F‘(x)≥0

Answer 4

用罗比达法则，上下分别对X求导，F'(x)=f(x)-f(a),由于f(x)单调增，所以得到结论。