Question

请教数学排列组合问题

有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同的站法？ 答案说是这样的题先排5个姐姐，那不应该是A55吗，为啥是A44？说什么先排一个姐姐，然后就是A44 为什么呢？详细解释

Answer 1

因为是围成一个圈，这样是不分先后顺序，只分左右关系
比方说圆圈上有5个座位，5个姐姐ABCDE，只要ABCDE相对位置（左右关系）不变，尽管A有5个位置选，但不管选哪个位置都只有1种排序，所以这5种只能算1种，或者说5种是重复的，A55除以5就是A44

追问

为什么先排第一种

追答

看下面的解释，他们说的很好

Answer 2

因为题目说的是站成一圈（即是循环）， 循环排列的公式是 A(n,r)/r = n! / (r(n-r)!)
A(5,5) = 5! / (5*(5-5)!) = 也等于 4!

故此，也可以理解成 A(4,4) = 4! / (4*(4-4)!) 含义就是因为是排成圆圈（循环），第一对不需要理会他的确实位置，从第二对开始他的相对位置排列就有4个可能性，第三对就有3个可能性，. . . 如此类推。总共有4！的排列方式。

此外，现在是一对姐妹在排，所以每一对姐妹可以互换位置（题目只说明是两姐妹必须是相邻，但可以左右对换），5对姐妹就总共有5^2种排列，即是32种排列。

所以，所有的可能排列为 5^2 * 4! = 768种

Answer 3

不考虑圆形排列的话，应该是A（5，5），圆排列则为A（4,4）
圆排列的特殊性在于，无论这个圆怎么转动，每个元素之间的相对位置保持不变，即属于同一种排列，这样如果按照一般排列组合算出来的结果就会有重复
规律是，n个元素作圆排列，有n!/n=（n-1)！种排法
本题每对姐妹站一起各有两种站法，总共有2的5次方种
最后的结果就是A（4,4）x2^5

追问

还是不明白为什么先定好一个姐姐，先排姐姐是A44.

追答

我的意思不是先排姐姐，是把每对姐妹看作一个整体，一共5个整体作圆排列，就是A55/5=4!
如果你非要先排姐姐的话，整体思想其实是一样的。
记住这个概念，圆排列只看相对位置，相对位置不变则排法是同一种，相对位置改变才是不同的排列。

追问

为啥除以5？

追答

说白了，就是一个相对位置的概念。相对位置说白了就是左右两个方向的差别而已。
按你的要求先排5个姐姐，因为只看姐姐的相对位置，当妹妹不存在都是可以的
你把下面这个结论当成一个规律就行了：
n个元素作圆排列，有n!/n=（n-1)！种排法
姐姐排好之后，妹妹就有了参照物，不是相对位置了，所以是2的5次方

Answer 4

题目没有你想得简单,不是先排五个姐姐,而是把五队看成五个人,是A55,但是每队又有两种排法,因为可以姐姐在左也可以妹妹在左,但是还要考虑一圈的问题,也就是轮换问题,有10个人所以重复10次
所以A55*2^5/10
=5*4*3*2*2*2*2*2*2/2/5
=A44*2^4

Answer 5

此题的考点就是"站成一圈"与"排成一行"的区别所在，好好体会其不同