Question

如图 CD是圆O的弦，AB是直径，CD垂直AB，垂足为P，求证PC的平方=PA乘PB.

Answer 1

证明：连接AC和BC，因为AB为直径，则根据圆的相关定理，三角形ACB为直角三角形，且CD垂直于AB，容易证明角APC=角CPB=90°，角CAP=角BCP，三角形ACP与三角形BCP相似，则根据相似定理得知，AP:PC=PC:BP，即PC*PC=AP*BP

Answer 2

连接CO因为AO=CO，CO=BO所以∠CAB=∠ACO，∠OCB=∠OBC△ABC的内角和为180°所以∠ACB=∠CAB+∠CBA=90°由∠CAB与∠ACP互余，∠BCP与∠CBP互余所以∠CAB=∠BCP，∠ACP=∠CBA所以三角形ACP与三角形CBP相似所以PC/PA=PB/PC所以PC平方=PA乘以PB