Question

已知函数f(x)=1/xsinθ+lnx在[1，+∞]上为增函数，且θ∈(0，π)，

已知函数f(x)=1/xsinθ+lnx在[1，+∞]上为增函数，且θ∈(0，π)，
（1）求θ的值；
（2）若g(x)=f(x)+mx在[1，+∞]上为单调函数，求实数m的取值范围

Answer 1

求导 得到 g'(x)=-1/sinΦ*x^2+1/x >=0 在x>=1时成立
所以1/x>=1/sinΦ*x^2
所以 1>=1/sinΦx 因为Φ 0到π 所以sinΦ>0
所以 sinΦx>=1 所以sinΦ=1 Φ=π/2

2.(f(x)-g(x))'=m+(m-1)/x^2-1/x+1/x^2-1/x 整理得到 m+m/x^2-2/x 使其为单调
所以h(x)=m+m/x^2-2/x 在x>=1时
m=0时 恒小于0 成立
m不等于0时
对于h(x) 可变为 K(x)=mx^2-2x+m=0的形式求解
因为1到正上 所以m>0时 对称轴x=1/m 所以使K(1)>=0则成立所以m-2+m>=0
所以m>=1

m<0时 使K(1)<=0 所以m<=-1
综上所述 m=0或>=1或<=-1

Answer 2

求导，当x=1时，令f'(x)=0，θ=2\π
f(x)=1\x+lnx g(x)=1\x+lnx+mx 单调增时，g'(x)＞0,分离参量，m的取值范围是m＞0
单调减时，g'(x)＜0，m趋向于0

Answer 3

1) 先对g(x)求导，得g(x)'=-1/(sinθx^2)＋1／x＝（sinθx－1）／（sinθx2）＞＝0，因sinθ＞0，x2＞0，所以sinθx－1＞＝0
所以x＞＝1／sinθ，因x＞＝1，所以1＞＝1／sinθ，sinθ＝1，θ＝π ／2
(2)g（x）＝1／x＋lnx，f(x)=mx-(m-1)/x-lnx求θ
m=0 f(x)=1/x-lnx f'(x)=-1/x^2-1/x>0 (1/x)(1/x+1)<0
-1<1/x<0时,即:x<-1时,是增的,因lnx中,x>0,所以无增区间.
f'(x)<0时,即(1/x)(1/x+1)>0)时,即:1/x>0时,即x>0时,是减的.
即:减区间x>0
同时,x>0为定义域,它是减的,所以无极值.