Question

已知函数f(x)={x^3,(x>=1);2x-x^2(x<1),若不等式f(m^2+1)>=f(tm-1)对任意实数m恒成立则实数t的取值范围为

Answer 1

f(x)=｛ x^3≥1,且为增函数(x>=1);
2x-x^2=-（x-1²+1≤1(x<1)
f(m^2+1)=(m^2+1)^3≥1
f(m^2+1)>=f(tm-1)有两种可能：
1、tm-1恒＜1但对)对任意实数m不恒成立；
2、tm-1恒＜m^2+1，则有m^2+2-tm＞0恒成立。
综上，m^2+2-tm＞0恒成立即为解。则有：Δ=t²-8＜0
则t的取值范围是【-2√2，2√2】

Answer 2

先画出f(x)={x^3,(x>=1);2x-x^2(x<1)图像 在R上递增
故由f(m^2+1)>=f(tm-1)可得m²+1≥tm-1恒成立
所以m²-tm+2≥0恒成立
用判别式得t²-8≤0
因此t∈[-2根号2，2根号2]