Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的

两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF= 12S△ABC；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

解：图2成立；图3不成立

证明图2：

过点D作DM⊥AC，DN⊥BC

则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°

再证∠MDE＝∠NDF，DM＝DN

有△DME≌△DNF，∴S△DME＝S△DNF

∴S四边形DMCN＝S四边形DECF－S△DEF＋S△CEF

由信息可知S四边形DMCN＝1/2S△ABC

∴S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC

图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S △CE＝1/2S△ ABC

Answer 2

S△DEF+S△CEF= 12S△ABC 仍然成立．
证明：当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，
连接CD．∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形．
又∵D为AB边的中点，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD= 12S△ABC，
得证．

当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时：
猜想 S△DEF+S△CEF= 12S△ABC，
证明：连接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD，
又S△BCD= 12S△ABC，
则S△DEF+S△CEF= 12S△ABC．
故答案是：S△DEF+S△CEF= 12S△ABC，S△DEF+S△CEF= 12S△ABC．

Answer 3

：图2成立；图3不成立
证明图2：
过点D作DM⊥AC，DN⊥BC
则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°
再证∠MDE＝∠NDF，DM＝DN
有△DME≌△DNF，∴S△DME＝S△DNF
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF－S△DEF＋S△CEF
由信息可知S四边形DMCN＝1/2S△ABC
∴S△DEF＋S△CEF＝1/2S△ABC
图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S △CE＝1/2S△ ABC

Answer 4

S△DEF+S△CEF= 1/2S△ABC依然成立。连CD证全等，利用面积割补法就可证明。

Answer 5

S△DEF+S△CEF=S△ABC 仍然成立．
证明：当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，
连接CD．∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形．
又∵D为AB边的中点，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD=S△ABC，
得证．
（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，
猜想 S△DEF+S△CEF=S△ABC，
证明：连接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD，
又S△BCD=S△ABC，
则S△DEF+S△CEF=S△ABC．
故答案是：S△DEF+S△CEF=S△ABC，S△DEF+S△CEF=S△ABC．