Question

如图，点C,D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=2，CD平行AB，并于弧AB相交于点M,N

求线段OD长，，若tan角C=1/2，求弦MN长

Answer 1

解：
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵CD//AB
∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D
∴∠C=∠D
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5

作OE⊥CD，交CD于E
∵tan∠C =½，即OE/CE=½
∴CE=2OE
根据勾股定理：OC²=OE²+CE²
5²=5OE²
OE=√5
连接OM，根据勾股定理
ME²=OM²-OE²=3²-（√5）²=4
ME=2
∵OE⊥MN
∴OE平分MN【垂径定理】
∴MN=2ME=4

Answer 2

过O作OE⊥CD，连接OM，则ME= 12MN，
∵tan∠C= 1/2，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x= 5，
在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ 5）2+ME2，解得ME=2．
∴MN=4，

Answer 3

解：
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵CD//AB
∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D
∴∠C=∠D
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5

作OE⊥CD，交CD于E
∵tan∠C =½，即OE/CE=½
∴CE=2OE
根据勾股定理：OC²=OE²+CE²
5²=5OE²
OE=√5
连接OM，根据勾股定理
ME²=OM²-OE²=3²-（√5）²=4
ME=2
∵OE⊥MN
∴OE平分MN【垂径定理】
∴MN=2ME=4

Answer 4

解：（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴
OA
OC
=
OB
OD
，
即
OA
OA+AC
=
OB
OD
，
又OA=3，AC=2，
∴OB=3，
∴
3
3+2
=
3
OD
，
∴OD=5；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=
1
2
MN，
∵tan∠C=
1
2
，即
OE
CE
=
1
2
，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x=
5
，
在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（
5
）2+ME2，解得ME=2．
∴MN=4，
答：弦MN的长为4．

Answer 5

解：（1）∵CD∥AB，OA=3，AC=2，
∴△OAB∽△OCD，
∴ = ，即 = ，
∴OD=5；

（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME= MN，
∵tan∠C= ，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x= ，
在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ ）2+ME2，解得ME=2．
∴MN=4，
故答案为：4．

Answer 6

∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵CD//AB
∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D
∴∠C=∠D
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5

作OE⊥CD，交CD于E
∵tan∠C =½，即OE/CE=½
∴CE=2OE
根据勾股定理：OC²=OE²+CE²
5²=5OE²
OE=√5