Question

数列｛an｝中，a1=2，a（n+1）=2an-n+1

1。设bn=an-n，求证｛bn｝为等比数列。
2。求｛an｝的通项公式及｛an｝的前n项和Sn。

Answer 1

1.a（n+1）-(n+1)=2an-n+1-(n+1)
a（n+1）-(n+1)=2an-2n
a（n+1）-(n+1)=2(an-n)
{an-n}为公比为2的等比数列，第一项为1
an-n=2^(n-1)
an=2^(n-1)+n
bn=an-n=2^(n-1) 是等比数列。

2.第一问已求得 an=2^(n-1)+n
2^(n-1)的前n项和为 (1-2^n)/(1-2)=2^n-1 n的前n项和为 n(n+1)/2
Sn=2^n-1+n(n+1)/2

Answer 2

①因为bn=an-n，所以bn+1=a(n+1)-(n+1)，由a(n+1)=2an-n+1，所以b(n+1)=2an-n+1-n-1化简得b(n+1)=2an-2n，由b(n+1)/bn=2，所以bn是公比为2，首项为1的等比数列
②因为bn为等比数列，所以bn=2^(n-1)，又因为bn=an-n，所以an =2^(n-1)+n，所以Sn=2^(n-1)+n^2/2+n/2-1
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