Question

高二数学已知椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0交AB两点，|AB|=2√2

已知椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0交AB两点，|AB|=2√2，AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率为√2 /2，试求a，b。

Answer 1

y=-x+1,(1)
OM方程为：y=√2x/2,
M为二直线交点，二方程联立，
x=2-√2，y=√2-1，
M（2-√2，√2-1），
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
方程（1）代入椭圆方程，
ax^2+b(-x+1)^2=1,
(a+b)x^2-2bx+b-1=0,
根据韦达定理，
x1+x2=2b/(a+b),
x1*x2=(b-1)/(a+b),
根据中点公式，(x1+x2)/2=2-√2，
(x1+x2）=4-2√2，
2b/(a+b)= 4-2√2,
a=√2b/2
x1*x2=(b-1)(2-√2)/b
根据弦长公式，
|AB|=√（1+1）[(x1-x2)^2
=√2*[（x1+x2）^2-4x1x2]
=√2{（4-2√2）^2-4(b-1)(2-√2)/b]]
=√[(32b-24√2b+16+8√2）/b]=2√2，
b=√2/3，
a=(√2)b/2=1/3，
∴椭圆方程为：
(1/3）x^2+(√2/3)y^2=1.

Answer 2

设两交点坐标为（x1,y1）（x2,y2），且y2>y1，则M（x1+x2/2,y1+y2/2），OM的斜率为y1+y2/x1+x2＝√2 /2
由|AB|=2√2得(y2-y1)²+(x2-x1)²＝8，又x+y-1=0所以y2-y1＝x1-x2整理得y2-y1＝x1-x2＝2
因为A、B在椭圆上，所以ax1²+by1²=ax2²+by2²即ax1²-ax2²=by2²-by1² 联立y1+y2/x1+x2＝√2 /2 y2-y1＝x1-x2得a/b＝√2 /2，即b＝√2 a
即ax²+√2 ay²=1 与x+y-1=0联立消除y得（√2 a+a）x²-2√2 ax+√2 a-1＝0
由x1-x2＝2得（x1-x2）²＝（x1+x2）²-4x1x2＝4求得a＝1/3，则b＝√2/3

Answer 3

OM斜率为√2 /2 ， 所以M的两个坐标y=(√2 /2)x，又在AB上，所以M（2-√2,√2-1）
设A(x1，y1） B(x2，y2）则 （y2-y1）^2+(x2-x1)^2=(2√2 )^2=8
(1-x2-1+x1)^2+(x2-x1)^2=8 (x1-x2)^2=4
(x1+x2)^2-4x1*x2=4
又ax^2+b(1-x)^2=1 (a+b)x^2 -2bx+b-1=0 x1+x2=2b/(a+b) x1*x2= (b-1)/(a+b)
[2b/(a+b) ]^2-4(b-1)/(a+b)=4
(x1+x2)/2=b/(a+b)=2-√2
解上边这个方程组 得到 a= b=