Question

如图,已知二次函数y=1/2x²+mx+n（n≠0）的图像与一次函数y=x的图像交于A、B两点,与y轴交于点C

如图,已知二次函数y=1/2x²+mx+n（n≠0）的图像与一次函数y=x的图像交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OA,且AC∥x。
（1）求该二次函数的关系式
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=根号2，过点D、E分别作y轴的平行线，交该二次函数的图像于点F、G，若设点D的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y。试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
(图凑活着看吧，要详细过程~）
图

Answer 1

（1）与y轴交于点C知C坐标为（0，n），
AC//x，则A点纵坐标为n，又A点在y=x上，所以可设A点坐标为（n,n），
OA=OB,则B点坐标为（-n,-n）
AB两点都在二次函数上，带入二次函数得如下方程
n=1/2n^2+mn+n和-n=1/2n^2-mn+n
解第一个方程得n(1/2n+m)=0,n不等于0，所以1/2n+m=0即n=-2m
解第二个方程得2n(n-2m+4)=0,得n-2m+4=0,
综上得m=1,n=-2
(2)D点的横坐标为x,又D 点在y=x上,所以D坐标为（x,x）,DE=根号2,所以E点坐标为（x+1,x+1）
过点D、E分别作y轴的平行线，交该二次函数的图像于点F、G，则FG的横坐标分别与DE相同
又F在二次函数上，所以F的纵坐标是1/2x^2+x-2,即F（x,1/2x^2+x-2）
G在二次函数上，G横坐标是x+1,所以纵坐标是1/2(x+1)^2+(x+1)-2=1/2x^2+2x-1/2
现在四边形DEGF的面积分别是三角形DEG和DFG，
D到EG的距离是固定为1，而EG的长度为E的纵坐标-G的纵坐标= - (1/2x^2+x-3/2)
所以DEG的面积是- (1/4x^2+1/2x-3/4)
G到DF的距离是固定为1，而DF的长度为的D纵坐标-F的纵坐标= - 1/2x^2+2
所以DFG的面积是- 1/4x^2+1
所以四边形DEGF的面积=DEG+DFG
即y=-1/2x^2-1/2x+7/4

Answer 2

⑴令x=0得，y=n，从图形可知n<0，∴OC=-n，又直线y=x与x轴的夹角为45°，且AC∥x轴，
∴AC=OC=-n，∴A(n，n)，代入抛物线解析式，∵n≠0，∴n=-2m。由函数值相等得：
1/2x²+mx+n=x，1/2x²+(m-1)x-2m=0，它的两根是A、B的横坐标，∴两根之和为0，即m=1。
∴二次函数的解析式为：y=1/2x²+x-2。
由夹角为45°，D的横坐标为x，DE=√2得D到EG的距离为1，∴E的楠坐标为(x+1)，
把由F、G在抛物线上知：DF=x-(1/2x²+x-2)=-1/2x²+2，
EG=(x+1)-[1/2(x+1)²+(x+1)-2]=-1/2x²-x-3/2。
∴y=1/2(DF+EG)*1= -1/2(x²+x-1/2)= -1/2(x+1/2)²+3/8
∵A(-2，-2)、B(2，2)，∴-2<x<2。

Answer 3

解：
（1）由题意得C（0，n）
∵BC∥x轴，且点B在直线y=x上，所以点B的坐标为（n，n）.
由OA=BO知，点A、B关于原点对称，
∴ 点A的坐标为（-n，-n）.
(2)∵抛物线 与y轴交于点C ∴C(0，n)
∵BC∥x轴 ∴B点的纵坐标为n
∵B、A在y=x上，且OA=OB ∴B(n，n)，A(-n，-n)
∴ 解得：n=0(舍去)，n=-2；m=1
∴所求解析式为：
(3)作DH⊥EG于H
∵D、E在直线y=x上 ∴∠EDH=45° ∴DH=EH
∵DE= ∴DH=EH=1 ∵D(x，x) ∴E(x+1，x+1)
∴F的纵坐标： ，G的纵坐标：
∴DF= -( )=2- EG=(x+1)- [ ]=2-
∴
∴x的取值范围是-2<x<1 当x=- 时，y最大值=3 .

Answer 4

（1）与y轴交于点C知C坐标为（0，n），
AC//x，则A点纵坐标为n，又A点在y=x上，所以可设A点坐标为（n,n），
OA=OB,则B点坐标为（-n,-n）
AB两点都在二次函数上，带入二次函数得如下方程
n=1/2n^2+mn+n和-n=1/2n^2-mn+n
解第一个方程得n(1/2n+m)=0,n不等于0，所以1/2n+m=0即n=-2m
解第二个方程得2n(n-2m+4)=0,得n-2m+4=0,
综上得m=1,n=-2
(2)D点的横坐标为x,又D 点在y=x上,所以D坐标为（x,x）,DE=根号2,所以E点坐标为（x+1,x+1）

Answer 5

解：根据函数解析式得C(0，n)

∵AC//x轴∴A(-2m，n)∴n=-2m

∵OA=OB∴B(2m，2m)

代入解析式得(1/2)(2m)^2 +m*(2m)-2m=2m

∴4m^2 -4m=0

∴m=1或m=0（m=0时n=0不满足题意）

∴m=1

∴抛物线解析式是y=0.5x^2 +x-2

设E(x+t，x+t)

∵DE=√2，D(x，x)，-2<x<2

∴t=1

∴E(x+1，x+1)，-2<x+1<2

∴-2<x<1

∴y=(DF+EG)*1/2=(DF+EG)/2

=[(x-0.5x^2 -x+2)+(x+1-0.5(x+1)^2 -(x+1)+2)]/2

=-0.5x^2-0.5x+1.75

∴y=-0.5x^2-0.5x+1.75，-2<x<1