Question

设函数f(x)=ax^2+bx(a,b∈R,a>0)的定义域为R

（1）. 若函数f（x）在区间（0,1）上不单调，证明：b^2+2ab＜0
（2）. 若关于x的方程f（x）-x+1=0有两个不同的实根x1、x2,且\x1\＜2，x2-x1=4,求实数b的取值范围。

Answer 1

设函数f(x)=ax^2+bx(a,b∈R,a>0)的定义域为R
（1）. 若函数f（x）在区间（0,1）上不单调，证明：b^2+2ab＜0
（2）. 若关于x的方程f（x）-x+1=0有两个不同的实根x1、x2,且\x1\＜2，x2-x1=4,求实数b的取值范围。
(1)解析：∵函数f(x)=ax^2+bx(a,b∈R,a>0)的定义域为R
∴函数对称轴为x=-b/(2a)
∵函数f（x）在区间（0,1）上不单调
∴0<-b/(2a)<1==>0<-b<2a==>-2a<b<0
-2a<b二边分别乘以b
-2ab>b^2==>b^2+2ab<0
(2)解析：∵方程ax^2+(b-1)x+1=0有两个不同的实根x1、x2
由韦达定理知x1+x2=(1-b)/a,x1x2=1/a
∵|x1|＜2，x2-x1=4
∴-2<x1<2==>2<x2<6
∵a>0, ∴0<x1<2, 4<x2<6
∴4<x1+x2<8, 0<x1x2<12
∴(x1+x2)/(x1x2)>2/3
1-b>2/3==>b<1/3

Answer 2

f(x)在（0，1）不单调，等效为，函数对称轴x=-b/2a在区间(0,1)内，即0<-b/2a<1
化简0<-b^2/2ab<1,2ab<0,所以-b^2>2ab,所以b^2+2ab＜0