Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C,连接AC、BC，A、C两点的

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C,连接AC、BC，A、C两点的坐标为A(－3,0)、C（0，根号3），且当x=－4和x=2时二次函数的函数值等。
（1）求二次函数解析式
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。
当运动时间为t秒时，连接MN，将⊿BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及P的坐标；
二次函数图像的对称轴上是否存在点Q，使得以B、N，Q为顶点的三角形与⊿ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

要详细过程

Answer 1

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，A、C两点的坐标为A(－3,0)、C（0，根号3），9a-3b+c=0 c=√3
当x=－4和x=2时二次函数的函数值等16a-4b+c= 4a+2b+c
由上面三式得：a= - √3 /3 b= - 2√3 /3 c=√3
（1）二次函数解析式y= - √3 /3x²- 2√3 /3 x+√3 即：3y= - √3 x²- 2√3 x + 3√3
（2）B点横坐标为：3-（- 2√3 /3）/（- √3 /3）=1
tan∠ABC=√3 ∠ABC=60° ∠ABP=30°直线BP斜率： tan150°= -√3 /3
且直线BP过点B（1,0） 可得直线BP：y= -√3 /3 x + √3 /3
可求出：P(-2，√3) t=(1+2)/2=1.5
二次函数图像的对称轴x= -1

追问

斜率，这个不懂，有别的方法吗
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

追答

由ABC坐标可知△ABC为直角三角形，∠ABC=60° ∠CAB=30°
直线BN：y= -√3 x + √3
NB=1.5 可知 N (1/4，3√3 /4) BN中点坐标（5/8，3√3 /8）
BN中点如果到 对称轴x= -1 的距离≤NB/2 就存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似。
BN中点如果到 对称轴x= -1 的距离：5/8+1=13/8 NB/2=3/4
而13/8 ＞ 3/4 故：不存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似。

Answer 2

1)
a*(-4)^2+b*(-4)+c=a*2^2+2*b+c
0=a*(-3)^2+b*(-3)+c
√3=a*0^2+b*0+c
联立解方程得：
a=-√3/3,b=-2√3/3,c=√3
解析式为:y=-√3/3x^2-2√3/3x+√3
2)
又抛物线解析式可以求出B点坐标为（1,0）
直线AB方程为：y-0=(√3-0)/(0-1)(x-1)
即y=-√3(x-1),tanα=-√3，α=120°
M点坐标：(1-tsinα，（√3+tcosα)
N点坐标：(1-t,0)

Answer 3

解：（1）∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴设二次函数的解析式为：y=a（x+3）（x-1）（a≠0），
将点C（0，3）代入函数解析式得：3=-3a，
∴a=-1，
∴此二次函数的解析式为：y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴此二次函数的对称轴为：x=-1，
∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（-2，3），
∴设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴k+b=0-2k+b=3​，
解得：k=-1b=1​，
∴此一次函数的解析式为：y=-x+1；

（2）根据图象得：
一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：x＜-2或x＞1．

Answer 4

tudoumeiyou