Question

已知抛物线y^2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点。

已知抛物线y^2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点。
（1）求点Q的轨迹方程
（2）若倾斜角为60°，且过点F的直线交Q的轨迹于A、B两点，求弦长AB的绝对值。

Answer 1

解：（1）设P（a,b) ,Q(x,y) ,由中点公式得x=a/2 , y=b/2
即 a=2x , b=2y 又P点在y^2=4x上得(2y)^2=4(2x)
得Q点和轨迹方程为y^2=2x .
(2)F(1,0) 直线AB的斜率为k=tan60°=√3 设A(x1,y1) B(x2,y2)
AB方程为y=√3 (x-1)与y^2=2x 联立消去y得
3x^2-8x+3=0 得x1+x2=8/3 ,x1x2=1 y1-y2=√3 (x1-x2)
弦长AB的平方＝（x1-x2)^2+(y1-y2)^2=4[(x1+x2)^2-4x1x2]=112/9
弦长AB的绝对值=4√7/3

Answer 2

设Q上任一点（x，y）则P坐标为（2x，2y）P在抛物线上，满足（2y）^2=4*(2x)整理得y^2=2x
F（2,0）直线方程y=根3*（x-2）与y^2=2x交与AB，
可解AB为（（7+gen13）/3,gen3(1+gen13)/3）,（（7-gen13）/3,gen3(1-gen13)/3）,利用两点距离公式 得(4gen13)/3