Question

y=1/2x²+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0）

问 点p为直线BC下方抛物线上动点，问p在什么位置时，四边形ACPB的面积最大，求出p坐标

Answer 1

1、将A点坐标代入抛物线方程得0=1/2-b-2得b=-3/2，故y=x²/2-3x/2-2.。
抛物线的对称轴：x=3/2；B点坐标：B(4，0)；C点坐标：C(0，-2)；
2、∵A、B、C三点已确定，∴ACPB面积最大时△CPB的面积也最大。
直线BC的方程是y1=x/2-2。两方程相减得y差=y-y1=x²/2-2x，其顶点坐标为(2，-2)。
∵线段BC的长度固定，∴欲使△CPB面积最大，需使BC上的高最大，那么动点P的
横坐标定应取xP=2，这时yP=2²/2-6/2-2=-3。答案：P(2，-3)。

追问

为什么要相减啊

追答

因为线段BC和抛物线的位置已固定，要在抛物线上寻找P点位于何处时△CPB的BC边上的高PH最大，只须寻找P点位于抛物线何处时夹在线段BC和抛物线之间的竖直线段PQ为最长。
这里H和Q都在BC上，PH=PQsinPQH， ∠PQH已固定，PH正比于PQ。
线段PQ的长度变化情况，由y-y1=x²/2-2x确定。——所以要用减法，然后求何时丨y-y1丨最大。
当然，由于直线和抛物线的对称性，所求P点的横坐标一定是线段BC中点的横坐标x=2。我以为，就逻辑推理来说，还是要作减法求x²/2-2x何时最大更容易理解。

Answer 2

第四问不难，我教你思路，面积ACPB=面积ACB+面积BCP现在面积ACB是固定的，但面积BCP的底也是固定的，底为BC，所以只要求出高即可高为BC弧上到直线BC距离最远的点，这个点就是一条直线L的斜率与直线BC的斜率一样，且L与抛物线相切，这个切点就是P了望采纳
谢谢
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