Question

问一道椭圆题，高手进

怎样证明椭圆上任一点与两个焦点的斜率的乘积是定值，写出具体步骤，好的加分

Answer 1

你把题目都打错了，叫人怎么回答
应该是证明椭圆上任一点（异于两顶点）与两个顶点（上下或左右顶点）的斜率的乘积是定值
（1）设P(x1,y1) 左右顶点为A(-a,o) B(a,o)
K1=y1/(x1+a) K2=y2/(x1-a)
k1k2=y1^2/(x^2-a^2)
p在椭圆上则x1^2/a^2+y1^2/b^2=1 即y1^2=b^2-b^2X1^2/a^2=(b^2/a^2)(a^2-x1^2)
代入得k1k2=-b^2/a^2
（2）设上下顶点为A(0,b) B(0,b)
K1=(y1-b)/x1 K2=(y2+b)/x1
k1k2=(y1^2-b^2)/x^2
p在椭圆上则x1^2/a^2+y1^2/b^2=1 即x1^2=a^2-a^2X1^2/b^2=(a^2/b^2)(b^2-y1^2)
代入得k1k2=-b^2/a^2
这个是椭圆比较重要的性质之一
k1k2=-b^2/a^2
还可以进一步推广：椭圆上任意一点（异于两交点）和过原点的直线与椭圆的交点的连线的斜率之积为定值-b^2/a^2,
双曲线也有类似性质
双曲线上任意一点（异于两交点）和过原点的直线与双曲线的交点的连线的斜率之积为定值b^2/a^2