Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．

动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t s，求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相交、相切、相离？

Answer 1

)∵AD∥BC，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形．

　　∵PD=24－t，CQ=3t，∴24－t=3t，∴t=6．

　　当PQ=CD，PQCD时，四边形PQCD是等腰梯形．

　　过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形PEFD均为矩形．△PQE≌△DCF．

　　∴PD=EF=(24－t)cm，QE=FC=26－24=2(cm)，QC=3tcm．

　　又∵QE＋FC=QC－PD，∴2＋2=3t－(24－t)，∴t=7．

　　故，当t=6s时，四边形PQCD为平行四边形；当t=7s时，四边形PQCD是等腰梯形．

　　(2)设运动ts时，直线PQ与⊙O相切于点G．

　　过P作PH⊥BC于H，即PH=AB=8，BH=AP，HQ=26－3t－t=26－4t，PQ=AP＋BQ=26－2t．

　　由PQ2=PH2＋HQ2，得(26－2t)2=82＋(26－4t)2．

　　解得．故当或t=8s时，直线PQ与⊙O相切；

　　当或时，直线PQ与⊙O相交；

　　当时，直线PQ与⊙O相离．

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Answer 2

P点的速度为1cm/s，所以点P到达D需要的时间为24 s
Q点的速度为3cm/s，所以点Q到达B需要的时间为26/3 s
因为只要一个到达另一个也停止，所以时间t≤26/3 s……………（1）
设时间为t时，PQ与圆O相切（如图中蓝线），切点为F
那么，PF=PA=t，QF=QB=26-3t
所以，PQ=PF+QF=t+26-3t=26-2t
过点P作BC的垂线，垂足为M
则四边形ABMP为矩形
所以，BM=AP=t
那么，MQ=BQ-BM=26-3t-t=26-4t
所以，在Rt△PMQ中，由勾股定理就有：PQ^2=PM^2+MQ^2
即：(26-2t)^2=64+(26-4t)^2
===> 26^2-104t+4t^2=64+26^2-208t+16t^2
===> 12t^2-104t+64=0
===> 3t^2-26t+16=0
===> (3t-2)(t-8)=0
===> t1=2/3，t2=8
即，t1对应的是图中蓝色切线，t2对应的是图中红色切线
所以，t=2/3，或者t=8秒时，PQ与圆O相切

在0≤t＜2/3，或者8＜t≤26/3，PQ与圆O相交；
在2/3＜t＜8时，PQ与圆O相离。

Answer 3

没有图，先根据条件角B=90°，BC=26cm>AD=24cm可以得知BC不是直角梯形ABCD的腰，而是底边，BC//AD

延长CB至点E，使得CE=BC+(BC-AD)=28cm，连接AE，那么梯形AECD构成等腰梯形。

P从A点以1cm/s的速度向D点运动，Q从C点以2cm/s的速度向E点运动，经过时间t，有：
AP=t cm
CQ=2t cm
若使PQCD构成等腰梯形，则PQ//AE，即
AP=EQ=CE-CQ
t=28-2t
解得t=28/3≈9.333 s

结论：从运动开始，经过28/3秒(约9.333s)，四边形PQCD成为等腰梯形

Answer 4

解：过D作DM⊥BC。
CM=BC-AD=26-24=2（厘米）。
设经过X秒，四边形PQCD成为平行四边形。
四边形PQCD成为平行四边形时，CQ=PD
3X=24-X
解得：X=6
所以：经过6秒，四边形PQCD成为平行四边形。

再设经过Y秒，四边形PQCD成为等腰梯形。
这时，CQ-PD=2CM
3Y-(24-Y)=2×2
Y=7
所以：再设经过7秒，四边形PQCD成为等腰梯形。

Answer 5

6s 7s