Question

如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,0)、B(-2,2),连接OB、AB, (1)求该抛物线的解析式.

如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形．
（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：将点A（-4，0）、B（-2，2）坐标代入抛物线的解析式得：a(-4)^2-4b=0,a(-2)^2-2b=-2,解得a=-1/2,b=-2,所以该抛物线的解析式为y=-1/2x^2-2x．(2)过B作BD垂直x轴于D，在直角三角形OBD中，OB=根号下(OD^2+BD^2)=根号8，同样可求得AB=根号8，所以AB=OB，所以△OAB是等腰直角三角形（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°后，B′(0,-根号8)，A′（根号8，-根号8）（由第二问可求得三角形AOB为直角三角形，且角ABO为直角）所以p(根号2，-根号8)由于P点坐标代入抛物线方程不适合，所以点P不在抛物线上；（4）存在，过点A作OB的平行线交抛物线于M，此时四边形ABOM成直角梯形，
设直线OB解析式为y=kx，将B点坐标代入求得k=-1，AM平行于OB所以可设AM解析式为y=-x+b,将A点坐标代入得，b=-4,联立AM解析式和抛物线解析式得方程组的解为x=1,时y=-5;x=-4时y=0,(不合题意舍去)所以M（1，-5）此时AM=根号下[(1-(-4))^2+(-5-0)^2]=根号50=5倍根号2，所以梯形面积=1/2*(OB+AM)*AB=1/2*(根号8+5倍根号2)*根号8=1/2*7倍根号2*2倍根号2=7

Answer 2

A,B两点坐标带入方程：
16a-4b=0
4a-2b=2
解得：
a=-1/2
b=-2

y = -1/2 x^2 -2x

2
y = -1/2 x^2 -2x
=-1/2(x+2)^2 + 2
所以对称轴是x=-2
B点经过对称轴，说明三角形OAB是等腰三角形。
根据勾股定理容易证明也是Rt三角形。

3

Answer 3

(1)把点AB代人方程求得y=-1/2（x+2）²+2
2）OA,AB,OA三边长求出，用勾股定理。
3）点A旋转135º为（2 √2,-2√2），B旋转后位（0,-2√2 ）所以p（ √2， -2√2）不满足抛物线方程，点P不在抛物线上。
4）∵∠B=90º,所以过A作AB的垂线交抛物线于M，或者过o作OB的垂线交为M,即可。
现在过A作AB的垂线（与OB平行），y=-x-4与抛物线求得交点M（ 2,-6）
AB=0B=2 √2,,AM=2√6，所以，面积为s= （√6+√2）2√2=4√3+4，
另一种情形同理得到M（-6，-6），面积和上一种情形相同。

Answer 4

（1）把A（-4，0）、B（-2，2）代入y=ax2+bx可得a=-1/2,b=-2;
(2)AB=BO=2根号2，AO=4，利用勾股地理
（3）P=(根号2,-2根号2),不在抛物线上
（4）存在

Answer 5

-1/2x2-2x=y

Answer 6

a=-0.5 b=1/4