Question

已知数列{an}中，a1=2,a2=2,an+1=2an+3an-1(n大于等于2且n属于N*)

求a1+a2+…an

Answer 1

a[n+1]＝2an+3a[n-1] 注：[ ]中的n+1、n-1均为下脚标。
两边各加an得：
a[n+1]+an＝3an+3a[n-1]=3(an+a[n-1])
令bn=an+a[n+1]，则有：bn=3b[n-1]且b1=a1+a2=4，其中n≥2且n∈N*
∴{bn}为等比数列，q=3,首项b1=4
bn=4*3^(n-1) 注：^后面的为上标
即：
an+a[n+1]＝4*3^(n-1) (n≥1)
移项，变换，右式拆分得：a[n+1]-3^n＝-an+3^(n-1)
令Cn＝an -3^(n-1) 代入上式得：
C[n+1]＝-Cn
∴{Cn}为等比数列，q=-1，C1＝a1-1＝1
Cn＝(-1)^(n-1)
亦即：an -3^[n-1]＝(-1)^(n-1)
∴an＝3^(n-1) - (-1)^n

令n=1，2分别代入得a1=a2=2成立，故有：
an＝3^(n-1) - (-1)^n (n∈N*)

an可以看成2个等比数列的差
Sn＝1+3+9+……+3^(n-1) －[-1+1-1+……+(-1)^n]
前面一部为(3^n -1)/2；后面一部分当n为偶数时，和为0，n为奇数时，和为 1
∴ Sn＝ (3^n -1)/2 (n为偶数)
或 Sn＝ (3^n +1)/2 (n为奇数)

Answer 2

请参考下图：