Question

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角

求e

Answer 1

e=√2（根号2） 解：
设线段PQ交X轴于A点，那么由双曲线的性质可知AF为等腰直角三角形ΔPFQ的角平分线兼垂直平分线
∴ΔPAF和ΔQFA也为等腰直角三角形
∴PA=AF
∵渐近线y=﹢(b/a)x或-(b/a)x ，右支 准线x=a²/c
∴联立渐近线和准线方程可得PA=ab/c , AF=c-a²/c
∵PA=AF
∴ab/c=c-a²/c 联立双曲线中c²=a²+b² ,可得b²=ab ，即a=b
∴c²=a²+b² 即c²=a²+a² 得e=c/a=√2