Question

高等数学中微分中值定理的题目两道，求高手帮忙求解，谢谢啦

Answer 1

1、f(x)在[a,b]上连续，则存在最大值M与最小值m，所以mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，所以∫(a到b) f(x)g(x)dx/∫(a到b) g(x)dx∈[m,M]，由介值定理，至少存在一点m∈(a,b)，使得f(m)＝∫(a到b) f(x)g(x)dx/∫(a到b) g(x)dx，即∫(a到b) f(x)g(x)dx＝f(m)∫(a到b) g(x)dx
2、a≤x≤b时，f(x)=f(x)-f(a)=f'(m)(x-a)≤M(x-a)，所以∫(a到b) f(x)dx≤∫(a到b) M(x-a)dx＝M(b-a)^2/2

Answer 2

1闭区间上连续性可知 存在最值 最小m≦ f(x)≦M最大 因g(x)>0
所以 mg(x)≦ f(x)g(x)≦Mg(x)
所以 ∫mg(x)dx≦∫f(x)g(x)dx≦ ∫Mg(x)dx
所以 m ≦∫f(x)g(x)dx / ∫g(x)dx≦ M
所以 存在c ,f(c)=∫f(x)g(x)dx / ∫g(x)dx 即结论成立
2 考虑函数G(x)= ∫[a,x]f(t)dt 在[a,b]上a点得二阶泰勒定理 可得
G(b)=G(a)+G'(a)(b-a)+G''(c)(b-a)^2 /2
代入得 ∫[a,b]f(t)dt= 0+f(0)(b-a)+f'(c)(b-a)^2 /2≦M(b-a)^2 /2

Answer 3

1.设f(x）=x^5+x^3+x+5,当x足够小时，必存在f（a）<0(如a=-100）当x足够大时必存在f（b）>0（如b=100）根据零值定理，f（x）至少有一

Answer 4

马克。