Question

1／（sinx+cosx）的定积分怎么求

Answer 1

∫1／（sinx+cosx）dx

=∫1／{2tan(x/2)/[1+tan^2(x/2)]+[1-tan^2(x/2)]/[1+tan^2(x/2)]}dx

=∫[1+tan^2(x/2)]／[2tan(x/2)+1-tan^2(x/2)]dx

=-∫1／{[tan(x/2)-1]^2-2}dtan(x/2)

=-1/(2√2)∫{1／[tan(x/2)-1-√2]-1／[tan(x/2)-1+√2]}dtan(x/2)

=-1/(2√2)ln[tan(x/2)-1-√2]+1/2ln[tan(x/2)-1+√2]+C

定积分

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

可不用万能公式，
原式=∫dx/[√2（cosx（√2/2）+sinx（√2/2）]
=√2/2∫dx/cos(x-π/4）
=√2/2∫sec(x-π/4）d(x-π/4)
=√2/2ln|sec(x-π/4)+tan(x-π/4)|+C.

Answer 4

用万能代替
∫1／（sinx+cosx）dx
=∫1／{2tan(x/2)/[1+tan^2(x/2)]+[1-tan^2(x/2)]/[1+tan^2(x/2)]}dx
=∫[1+tan^2(x/2)]／[2tan(x/2)+1-tan^2(x/2)]dx
=-∫1／[-2tan(x/2)-1+tan^2(x/2)]dtan(x/2)
=-∫1／{[tan(x/2)-1]^2-2}dtan(x/2)
=-1/(2√2)∫{1／[tan(x/2)-1-√2]-1／[tan(x/2)-1+√2]}dtan(x/2)
=-1/(2√2)ln[tan(x/2)-1-√2]+1/2ln[tan(x/2)-1+√2]+C