Question

高数：设质量为m的船沿直线行驶，已知水的阻力F与速度v的立方成正比，t=0时v=v0且阻力F=F0；

高数：设质量为m的船沿直线行驶，已知水的阻力F与速度v的立方成正比，t=0时v=v0且阻力F=F0；若时刻t=0时关闭动力，求动力关闭后的速度v与经过的路程的函数关系

Answer 1

设S为t的函数 即S=S(t)
t 时刻的速度v=S' 加速度a=v'=S''（就是S对t求二次导数)
设F=kv^3 （由题设F与v成正比 故设正比例系数为k） 那么F0=kv0^3 所以k=F0/v0^3
a=-kv^3 （负号表示加速度方向与运动速度方向相反）
从而S''=v'=-kv^3
即 dv/dt=-kv^3 即 dv/(v^3)=-kdt 两边积分得到 (1/2)*(1/v^2-1/v0^2)=kt 从而v=v0/√(1 2kv0^2t)
从而 S={对v积分} √(1 2kv0^2t) / (kv0) C (C为常数) 由于t=0时 S=0 故C=-1/(kv0)
从而 S=√(1 2kv0^2t) / (kv0) -1/(kv0) 将v代入消去t的刀 S=1/(kv)-1/(kv0)
从而 1/v-1/v0=kS=F0S/v0^3 得证

Answer 2

4