Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。

如4=2＾2-0＾2，12=4＾2-2＾2，20=6＾2-4＾2，因此4，12，20这三个数都是神秘数。
⑴28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
⑵设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
⑶两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
要有详细过程

Answer 1

　　如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为"神秘数"，
　　如：8=3的二次-1的二次，16=5的二次-3的二次，24=7的二次-5的二次，因此8,16,24这三个数都是神秘数。
　　（1）28和2016这两个数是神秘数吗？为什么？
　　（2）设两个连续奇数为2k-1和2k+1（其中k取正整数），有这两个连续奇数构造的神秘数是8的倍数吗？为什么？
　　（3）两个连续偶数的平方差（其中k取非负整数），是神秘数吗？为什么？

　　1，设两个相邻的偶数分别为2K，2K+2，且K为正整数。
　　则有神秘数（2K+2）的平方 — （2K）的平方
　　=4K方+8K+4-4K方=8K+4
　　当8K+4=28时，则K=3，因此时K为正整数，故28为神秘数。
　　当8K+4=2016时，则K=503/2，因此时K不为正整数，故2016不是神秘数。
　　2，（2K+1）的平方-（2K-1）的平方=4K方+4K+1-(4K方-4K+1)=4K方+4K+1-4K方+4K-1=8K
　　因为K为正整数，所以是8的倍数
　　3、当K=0时，2K=0,0不是偶数。不符合条件“两个连续的偶数”，因此不是神秘数。
　　当K不等于0时，为神秘数

Answer 2

28和2012这两个数是神秘数
因为8²-6²=64-36=28
504²-502²=2012
根据设较小的偶数为x
有（x+2）²-x²=28（或2012）
解得当差为28是，x=6，所以另一个偶数是x+2=8；当差为2012，x=,502，另一个偶数,504
（2）2k+2和2k，则有（2k+2）²-（2k）²=8k+4=4（2k+1），所以是4的倍数
（3）解：两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数，设较小的奇数为x，有（x+2）²-x²=神秘数（x+2为较大的奇数），比如8是3和1的神秘数：3²-1²=8
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Answer 3

（1）28=4×7=2286−；2012=4×503=22504502−所以是神秘数；
（2）22(22)(2)4(22)kkk+−=+因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）由（2）知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数因为两个连续奇数为2k+1和2k-1，则22(21)(21)8kkk+−−=，即两个连续奇数的平方差不是神秘数

Answer 4

解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022，
所以是神秘数．

（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=4×2k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

Answer 5

解：（1）28=2×14=（8-6）（8+6）=82-62；2012=4×503=5042-5022，
所以是神秘数．
（2）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．