Question

如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF

1.求证：AE⊥CF
2.若∠CAE=30°，求∠ACF的度数

Answer 1

（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．解答：解：（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中， {AE=CFAB=BC，
∴Rt△ABE≌△Rt△CBF（HL）；

（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．

Answer 2

1证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中， ，
∴Rt△ABE≌△Rt△CBF；
2∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．

Answer 3

设AE的延长线与CF交于O
∵∠ABE=∠CBF=90º
AB=BC，AE=CF
∴Rt⊿ABE≌Rt⊿CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF
∵∠BCF+∠F=90º
∴∠AOC=∠BAE+∠F=90º
∴AE⊥Cf
（2）
解：
∵∠AOC=90º。∠CAE=30º
∴∠ACF=90º-30º=60º

Answer 4

解：（1）证明：∵BE=BF，∠ABC=∠CBF=90°，AB=AC
∴△ABE≌△CBF
∴AE⊥CF
（2）∵∠AEB=∠ACB+∠EAC=45°+30°=75° △ABE≌△CBF
∴∠CFB=∠AEB=75°
∴∠EFC=∠CFB-∠BFE=75°-45°=30°

Answer 5

解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．