Question

2010天津中考数学试题18.有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠……

有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C' 处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC'D 折叠，使AE、C'F 重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C'F均落在DG上，点A、C'落在点A'处，点E、F落在点E'处，得折痕MN、QP.这样，就可以折出一个五边形 DMNPQ.（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段____________ （写出一组即可）；（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b,DM=M 时，有下列结论：(见图片)其中正确的有______________.图片在
详细过程

Answer 1

I. AD=BC=C'D, AE=CF=C'F, DE=BE=DF

II.正5边形中，MN=NP=PQ=QD=DM=m, AD=BC=C'D=b, AB=CD=a
∠DMN=∠MNP=∠NPQ=∠PQD=∠QDM=108°
① 由折叠过程，DE=BE，∠ADE=∠CDF=∠QDM-∠ADC=108°-90°=18°
在Rt△ADE中，有AE/AD=tan∠ADE，即AE=AD*tan∠ADE = b*tan18°
a²-b²=(AE+EB)²-AD²
=(AE+ED)²-AD²
=AE²+2AE*ED+ED²-AD²
=2AE²+2AE*ED
=2AE(AE+ED)
=2AE(AE+EB)
=2*b tan18°*a
=2ab tan18°
② 连DN，则∠NDG=∠MDG-∠MDN=∠QDM/2-(180°-∠DMN)/2=18°
GN = NP/2 = m/2，DG = BG = BD/2 = √(a²+b²)/2
在Rt△DNG中，有tan∠NDG = NG/DG = (NP/2) / (BD/2) = NP/BD
即 m = NP = BD tan∠NDG = √(a²+b²) tan18°
③ 连BN。
AE与A'E'关于MN对称，AE交A'E'于点B，因此B在对称轴MN上，即BMN共线
在Rt△ABM中，∠ABM=90°-∠AMB=90°-(180°-108°)=18°
tan∠ABM = AM/AB = (AD-DM)/AB
b = AD
= DM + AB tan∠ABM
= m + a tan18°
④ 作 NH⊥MQ于H，则∠MNH = ∠MNP-∠PNH = 108°-90°=18°
在Rt△MNH中，tan∠MNH = MH/NH
A'H = NG = NP/2 = m/2
有MH = MN sin∠MNH = m sin18°
b = AD
= DM + AM
= DM + A'M
= DM + A'H + MH
= m + m/2 + m sin18°
= (3/2)m + m sin18°
< (3/2)m + m tan18°
因此 ①②③成立，④不成立

Answer 2

（1）请写出图①中一组相等的线段AD=C'D（答案不惟一，也可以是AE=C'F等）
AD=C'D（答案不惟一，也可以是AE=C'F等）
写出一组即可．；
（2）若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：
①a2-b2=2abtan18°；② ；
③b=m+atan18°；④ ．
其中，正确结论的序号是①②③
．