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分部积分
∫(arcsine^x)/e^xdx= -∫(arcsine^x)de^(-x)
= -(arcsine^x) e^(-x) + ∫[e^x*/(1- e^2x)^1/2]*e^(-x) dx 因 [ arcsine^x ]' = [e^x*/(1- e^2x)^1/2]
= -(arcsine^x) e^(-x) + ∫[1 /(1- e^2x)^1/2] dx
其中 ∫[1 /(1- e^2x)^1/2] dx 令e^x=sint ,dx=dlnsint=cost/sint dt
= ∫[1 /cost ] *cost/sint dt=∫1/sint dt=ln| csct-cot t|+c 直接用公式了
所以∫(arcsine^x)/e^xdx=-(arcsine^x) e^(-x) +ln| csc(arcsin e^x)-cot (arcsin e^x) |+c
=-(arcsine^x) e^(-x) +ln| e^(-x) - e^(-x) * (1- e^2x)^1/2|+c
∫(arcsine^x)/e^xdx= -∫(arcsine^x)de^(-x)
= -(arcsine^x) e^(-x) + ∫[e^x*/(1- e^2x)^1/2]*e^(-x) dx 因 [ arcsine^x ]' = [e^x*/(1- e^2x)^1/2]
= -(arcsine^x) e^(-x) + ∫[1 /(1- e^2x)^1/2] dx
其中 ∫[1 /(1- e^2x)^1/2] dx 令e^x=sint ,dx=dlnsint=cost/sint dt
= ∫[1 /cost ] *cost/sint dt=∫1/sint dt=ln| csct-cot t|+c 直接用公式了
所以∫(arcsine^x)/e^xdx=-(arcsine^x) e^(-x) +ln| csc(arcsin e^x)-cot (arcsin e^x) |+c
=-(arcsine^x) e^(-x) +ln| e^(-x) - e^(-x) * (1- e^2x)^1/2|+c
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